Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101780 / 97488
↖ ↑ ↗
← S 65.603878°
E 99.547119°		 ← 126.15 m → S 65.603878°
E 99.549866°		 →
↑
126.15 m
↓
↑
126.15 m
↓
S 65.605012°
E 99.547119°		 ← 126.15 m →
15 913 m²		 S 65.605012°
E 99.549866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776523590087891 y=0.743778228759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776523590087891 × 217)
    floor (0.776523590087891 × 131072)
    floor (101780.5)     		tx = 101780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743778228759766 × 217)
    floor (0.743778228759766 × 131072)
    floor (97488.5)     		ty = 97488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101780 / 97488 ti = "17/101780/97488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101780/97488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101780 ÷ 217
    101780 ÷ 131072     		x = 0.776519775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97488 ÷ 217
    97488 ÷ 131072     		y = 0.7437744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776519775390625 × 2 - 1) × π
    0.55303955078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73742499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7437744140625 × 2 - 1) × π
    -0.487548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53167981666003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73742499} λ = 1.73742499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53167981666003))-π/2
    2×atan(0.216172232432006)-π/2
    2×0.212896329797392-π/2
    0.425792659594785-1.57079632675     		φ = -1.14500367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73742499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.547119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14500367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.603878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101780 KachelY 97488 1.73742499 -1.14500367 99.547119 -65.603878
    Oben rechts KachelX + 1 101781 KachelY 97488 1.73747293 -1.14500367 99.549866 -65.603878
    Unten links KachelX 101780 KachelY + 1 97489 1.73742499 -1.14502347 99.547119 -65.605012
    Unten rechts KachelX + 1 101781 KachelY + 1 97489 1.73747293 -1.14502347 99.549866 -65.605012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14500367--1.14502347) × R
    1.98000000000143e-05 × 6371000     		dl = 126.145800000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14500367--1.14502347) × R
    1.98000000000143e-05 × 6371000     		dr = 126.145800000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73742499-1.73747293) × cos(-1.14500367) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.413042793178339 × 6371000     		do = 126.153900758078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73742499-1.73747293) × cos(-1.14502347) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.413024761007341 × 6371000     		du = 126.148393268907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14500367)-sin(-1.14502347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413042793178339-0.413024761007341)×R²
    abs(1.73747293-1.73742499)×1.80321709982167e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80321709982167e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80321709982167e-05×40589641000000     		ar = 15913.4373614905m²