Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101778 / 97486
↖ ↑ ↗
← S 65.601609°
E 99.541626°		 ← 126.14 m → S 65.601609°
E 99.544372°		 →
↑
126.15 m
↓
↑
126.15 m
↓
S 65.602743°
E 99.541626°		 ← 126.13 m →
15 912 m²		 S 65.602743°
E 99.544372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776508331298828 y=0.743762969970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776508331298828 × 217)
    floor (0.776508331298828 × 131072)
    floor (101778.5)     		tx = 101778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743762969970703 × 217)
    floor (0.743762969970703 × 131072)
    floor (97486.5)     		ty = 97486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101778 / 97486 ti = "17/101778/97486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101778/97486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101778 ÷ 217
    101778 ÷ 131072     		x = 0.776504516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97486 ÷ 217
    97486 ÷ 131072     		y = 0.743759155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776504516601562 × 2 - 1) × π
    0.553009033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73732912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743759155273438 × 2 - 1) × π
    -0.487518310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53158394286079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73732912} λ = 1.73732912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53158394286079))-π/2
    2×atan(0.216192958678755)-π/2
    2×0.212916130652852-π/2
    0.425832261305704-1.57079632675     		φ = -1.14496407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73732912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.541626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14496407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.601609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101778 KachelY 97486 1.73732912 -1.14496407 99.541626 -65.601609
    Oben rechts KachelX + 1 101779 KachelY 97486 1.73737705 -1.14496407 99.544372 -65.601609
    Unten links KachelX 101778 KachelY + 1 97487 1.73732912 -1.14498387 99.541626 -65.602743
    Unten rechts KachelX + 1 101779 KachelY + 1 97487 1.73737705 -1.14498387 99.544372 -65.602743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14496407--1.14498387) × R
    1.98000000000143e-05 × 6371000     		dl = 126.145800000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14496407--1.14498387) × R
    1.98000000000143e-05 × 6371000     		dr = 126.145800000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73732912-1.73737705) × cos(-1.14496407) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.41307885703454 × 6371000     		do = 126.138598334224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73732912-1.73737705) × cos(-1.14498387) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.413060825187408 × 6371000     		du = 126.133092092779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14496407)-sin(-1.14498387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41307885703454-0.413060825187408)×R²
    abs(1.73737705-1.73732912)×1.80318471325047e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80318471325047e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80318471325047e-05×40589641000000     		ar = 15911.5071037354m²