Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101765 / 97650
↖ ↑ ↗
← S 65.787011°
E 99.505921°		 ← 125.24 m → S 65.787011°
E 99.508667°		 →
↑
125.25 m
↓
↑
125.25 m
↓
S 65.788137°
E 99.505921°		 ← 125.23 m →
15 686 m²		 S 65.788137°
E 99.508667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776409149169922 y=0.745014190673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776409149169922 × 217)
    floor (0.776409149169922 × 131072)
    floor (101765.5)     		tx = 101765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745014190673828 × 217)
    floor (0.745014190673828 × 131072)
    floor (97650.5)     		ty = 97650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101765 / 97650 ti = "17/101765/97650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101765/97650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101765 ÷ 217
    101765 ÷ 131072     		x = 0.776405334472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97650 ÷ 217
    97650 ÷ 131072     		y = 0.745010375976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776405334472656 × 2 - 1) × π
    0.552810668945312 × 3.1415926535     		Λ = 1.73670594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745010375976562 × 2 - 1) × π
    -0.490020751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53944559439848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73670594} λ = 1.73670594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53944559439848))-π/2
    2×atan(0.214499988463243)-π/2
    2×0.211298191245113-π/2
    0.422596382490226-1.57079632675     		φ = -1.14819994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73670594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.505921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14819994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.787011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101765 KachelY 97650 1.73670594 -1.14819994 99.505921 -65.787011
    Oben rechts KachelX + 1 101766 KachelY 97650 1.73675387 -1.14819994 99.508667 -65.787011
    Unten links KachelX 101765 KachelY + 1 97651 1.73670594 -1.14821960 99.505921 -65.788137
    Unten rechts KachelX + 1 101766 KachelY + 1 97651 1.73675387 -1.14821960 99.508667 -65.788137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14819994--1.14821960) × R
    1.96599999999769e-05 × 6371000     		dl = 125.253859999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14819994--1.14821960) × R
    1.96599999999769e-05 × 6371000     		dr = 125.253859999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73670594-1.73675387) × cos(-1.14819994) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.410129808061575 × 6371000     		do = 125.238070753269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73670594-1.73675387) × cos(-1.14821960) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.41011187752835 × 6371000     		du = 125.232595449245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14819994)-sin(-1.14821960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410129808061575-0.41011187752835)×R²
    abs(1.73675387-1.73670594)×1.7930533224797e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.7930533224797e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.7930533224797e-05×40589641000000     		ar = 15686.2088798205m²