Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101764 / 97649
↖ ↑ ↗
← S 65.785884°
E 99.503174°		 ← 125.27 m → S 65.785884°
E 99.505921°		 →
↑
125.25 m
↓
↑
125.25 m
↓
S 65.787011°
E 99.503174°		 ← 125.26 m →
15 690 m²		 S 65.787011°
E 99.505921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776401519775391 y=0.745006561279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776401519775391 × 217)
    floor (0.776401519775391 × 131072)
    floor (101764.5)     		tx = 101764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745006561279297 × 217)
    floor (0.745006561279297 × 131072)
    floor (97649.5)     		ty = 97649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101764 / 97649 ti = "17/101764/97649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101764/97649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101764 ÷ 217
    101764 ÷ 131072     		x = 0.776397705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97649 ÷ 217
    97649 ÷ 131072     		y = 0.745002746582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776397705078125 × 2 - 1) × π
    0.55279541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73665800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745002746582031 × 2 - 1) × π
    -0.490005493164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.53939765749886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73665800} λ = 1.73665800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53939765749886))-π/2
    2×atan(0.214510271174117)-π/2
    2×0.211308021635628-π/2
    0.422616043271256-1.57079632675     		φ = -1.14818028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73665800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.503174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14818028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.785884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101764 KachelY 97649 1.73665800 -1.14818028 99.503174 -65.785884
    Oben rechts KachelX + 1 101765 KachelY 97649 1.73670594 -1.14818028 99.505921 -65.785884
    Unten links KachelX 101764 KachelY + 1 97650 1.73665800 -1.14819994 99.503174 -65.787011
    Unten rechts KachelX + 1 101765 KachelY + 1 97650 1.73670594 -1.14819994 99.505921 -65.787011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14818028--1.14819994) × R
    1.96599999999769e-05 × 6371000     		dl = 125.253859999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14818028--1.14819994) × R
    1.96599999999769e-05 × 6371000     		dr = 125.253859999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73665800-1.73670594) × cos(-1.14818028) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.410147738436278 × 6371000     		do = 125.269676521144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73665800-1.73670594) × cos(-1.14819994) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.410129808061575 × 6371000     		du = 125.264200123182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14818028)-sin(-1.14819994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410147738436278-0.410129808061575)×R²
    abs(1.73670594-1.73665800)×1.79303747032677e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79303747032677e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79303747032677e-05×40589641000000     		ar = 15690.1675556589m²