Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101762 / 97670
↖ ↑ ↗
← S 65.809530°
E 99.497681°		 ← 125.13 m → S 65.809530°
E 99.500427°		 →
↑
125.13 m
↓
↑
125.13 m
↓
S 65.810655°
E 99.497681°		 ← 125.12 m →
15 657 m²		 S 65.810655°
E 99.500427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776386260986328 y=0.745166778564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776386260986328 × 217)
    floor (0.776386260986328 × 131072)
    floor (101762.5)     		tx = 101762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745166778564453 × 217)
    floor (0.745166778564453 × 131072)
    floor (97670.5)     		ty = 97670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101762 / 97670 ti = "17/101762/97670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101762/97670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101762 ÷ 217
    101762 ÷ 131072     		x = 0.776382446289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97670 ÷ 217
    97670 ÷ 131072     		y = 0.745162963867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776382446289062 × 2 - 1) × π
    0.552764892578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73656213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745162963867188 × 2 - 1) × π
    -0.490325927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54040433239088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73656213} λ = 1.73656213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54040433239088))-π/2
    2×atan(0.214294437725329)-π/2
    2×0.211101673667179-π/2
    0.422203347334358-1.57079632675     		φ = -1.14859298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73656213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.497681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14859298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.809530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101762 KachelY 97670 1.73656213 -1.14859298 99.497681 -65.809530
    Oben rechts KachelX + 1 101763 KachelY 97670 1.73661006 -1.14859298 99.500427 -65.809530
    Unten links KachelX 101762 KachelY + 1 97671 1.73656213 -1.14861262 99.497681 -65.810655
    Unten rechts KachelX + 1 101763 KachelY + 1 97671 1.73661006 -1.14861262 99.500427 -65.810655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14859298--1.14861262) × R
    1.96399999998764e-05 × 6371000     		dl = 125.126439999213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14859298--1.14861262) × R
    1.96399999998764e-05 × 6371000     		dr = 125.126439999213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73656213-1.73661006) × cos(-1.14859298) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.409771313237329 × 6371000     		do = 125.128600045993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73656213-1.73661006) × cos(-1.14861262) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.409753397780344 × 6371000     		du = 125.12312934568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14859298)-sin(-1.14861262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409771313237329-0.409753397780344)×R²
    abs(1.73661006-1.73656213)×1.79154569849294e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79154569849294e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79154569849294e-05×40589641000000     		ar = 15656.5540016866m²