Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101761 / 97499
↖ ↑ ↗
← S 65.616353°
E 99.494934°		 ← 126.09 m → S 65.616353°
E 99.497681°		 →
↑
126.08 m
↓
↑
126.08 m
↓
S 65.617487°
E 99.494934°		 ← 126.09 m →
15 898 m²		 S 65.617487°
E 99.497681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776378631591797 y=0.743862152099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776378631591797 × 217)
    floor (0.776378631591797 × 131072)
    floor (101761.5)     		tx = 101761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743862152099609 × 217)
    floor (0.743862152099609 × 131072)
    floor (97499.5)     		ty = 97499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101761 / 97499 ti = "17/101761/97499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101761/97499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101761 ÷ 217
    101761 ÷ 131072     		x = 0.776374816894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97499 ÷ 217
    97499 ÷ 131072     		y = 0.743858337402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776374816894531 × 2 - 1) × π
    0.552749633789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.73651419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743858337402344 × 2 - 1) × π
    -0.487716674804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.53220712255585
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73651419} λ = 1.73651419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53220712255585))-π/2
    2×atan(0.216058273587557)-π/2
    2×0.212787455991524-π/2
    0.425574911983049-1.57079632675     		φ = -1.14522141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73651419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.494934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14522141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.616353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101761 KachelY 97499 1.73651419 -1.14522141 99.494934 -65.616353
    Oben rechts KachelX + 1 101762 KachelY 97499 1.73656213 -1.14522141 99.497681 -65.616353
    Unten links KachelX 101761 KachelY + 1 97500 1.73651419 -1.14524120 99.494934 -65.617487
    Unten rechts KachelX + 1 101762 KachelY + 1 97500 1.73656213 -1.14524120 99.497681 -65.617487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14522141--1.14524120) × R
    1.9790000000075e-05 × 6371000     		dl = 126.082090000478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14522141--1.14524120) × R
    1.9790000000075e-05 × 6371000     		dr = 126.082090000478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73651419-1.73656213) × cos(-1.14522141) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412844485040896 × 6371000     		do = 126.093332348452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73651419-1.73656213) × cos(-1.14524120) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412826460197729 × 6371000     		du = 126.087827097389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14522141)-sin(-1.14524120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412844485040896-0.412826460197729)×R²
    abs(1.73656213-1.73651419)×1.80248431664309e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80248431664309e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80248431664309e-05×40589641000000     		ar = 15897.7638213668m²