Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101755 / 97496
↖ ↑ ↗
← S 65.612952°
E 99.478455°		 ← 126.08 m → S 65.612952°
E 99.481201°		 →
↑
126.08 m
↓
↑
126.08 m
↓
S 65.614086°
E 99.478455°		 ← 126.08 m →
15 897 m²		 S 65.614086°
E 99.481201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776332855224609 y=0.743839263916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776332855224609 × 217)
    floor (0.776332855224609 × 131072)
    floor (101755.5)     		tx = 101755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743839263916016 × 217)
    floor (0.743839263916016 × 131072)
    floor (97496.5)     		ty = 97496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101755 / 97496 ti = "17/101755/97496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101755/97496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101755 ÷ 217
    101755 ÷ 131072     		x = 0.776329040527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97496 ÷ 217
    97496 ÷ 131072     		y = 0.74383544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776329040527344 × 2 - 1) × π
    0.552658081054688 × 3.1415926535     		Λ = 1.73622657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74383544921875 × 2 - 1) × π
    -0.4876708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53206331185699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73622657} λ = 1.73622657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53206331185699))-π/2
    2×atan(0.21608934731319)-π/2
    2×0.212817143662397-π/2
    0.425634287324793-1.57079632675     		φ = -1.14516204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73622657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.478455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14516204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.612952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101755 KachelY 97496 1.73622657 -1.14516204 99.478455 -65.612952
    Oben rechts KachelX + 1 101756 KachelY 97496 1.73627450 -1.14516204 99.481201 -65.612952
    Unten links KachelX 101755 KachelY + 1 97497 1.73622657 -1.14518183 99.478455 -65.614086
    Unten rechts KachelX + 1 101756 KachelY + 1 97497 1.73627450 -1.14518183 99.481201 -65.614086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14516204--1.14518183) × R
    1.9790000000075e-05 × 6371000     		dl = 126.082090000478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14516204--1.14518183) × R
    1.9790000000075e-05 × 6371000     		dr = 126.082090000478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73622657-1.73627450) × cos(-1.14516204) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.412898558600238 × 6371000     		do = 126.08354203832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73622657-1.73627450) × cos(-1.14518183) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.412880534242157 × 6371000     		du = 126.078038083747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14516204)-sin(-1.14518183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412898558600238-0.412880534242157)×R²
    abs(1.73627450-1.73622657)×1.80243580809591e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80243580809591e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80243580809591e-05×40589641000000     		ar = 15896.529520352m²