Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101752 / 98618
↖ ↑ ↗
← S 66.854606°
E 99.470215°		 ← 120.03 m → S 66.854606°
E 99.472961°		 →
↑
120.03 m
↓
↑
120.03 m
↓
S 66.855685°
E 99.470215°		 ← 120.02 m →
14 407 m²		 S 66.855685°
E 99.472961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776309967041016 y=0.752399444580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776309967041016 × 217)
    floor (0.776309967041016 × 131072)
    floor (101752.5)     		tx = 101752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752399444580078 × 217)
    floor (0.752399444580078 × 131072)
    floor (98618.5)     		ty = 98618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101752 / 98618 ti = "17/101752/98618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101752/98618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101752 ÷ 217
    101752 ÷ 131072     		x = 0.77630615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98618 ÷ 217
    98618 ÷ 131072     		y = 0.752395629882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77630615234375 × 2 - 1) × π
    0.5526123046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73608276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752395629882812 × 2 - 1) × π
    -0.504791259765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5858485132307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73608276} λ = 1.73608276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5858485132307))-π/2
    2×atan(0.204773965960486)-π/2
    2×0.201981669181757-π/2
    0.403963338363515-1.57079632675     		φ = -1.16683299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73608276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.470215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16683299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.854606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101752 KachelY 98618 1.73608276 -1.16683299 99.470215 -66.854606
    Oben rechts KachelX + 1 101753 KachelY 98618 1.73613069 -1.16683299 99.472961 -66.854606
    Unten links KachelX 101752 KachelY + 1 98619 1.73608276 -1.16685183 99.470215 -66.855685
    Unten rechts KachelX + 1 101753 KachelY + 1 98619 1.73613069 -1.16685183 99.472961 -66.855685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16683299--1.16685183) × R
    1.88399999998534e-05 × 6371000     		dl = 120.029639999066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16683299--1.16685183) × R
    1.88399999998534e-05 × 6371000     		dr = 120.029639999066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73608276-1.73613069) × cos(-1.16683299) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.393065749184404 × 6371000     		do = 120.027355094494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73608276-1.73613069) × cos(-1.16685183) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.393048425539314 × 6371000     		du = 120.022065111062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16683299)-sin(-1.16685183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393065749184404-0.393048425539314)×R²
    abs(1.73613069-1.73608276)×1.7323645089995e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.7323645089995e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.7323645089995e-05×40589641000000     		ar = 14406.5227449407m²