Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10175 / 6071
↖ ↑ ↗
← N 81.155086°
W124.107056°		 ← 93.92 m → N 81.155086°
W124.101562°		 →
↑
93.91 m
↓
↑
93.91 m
↓
N 81.154241°
W124.107056°		 ← 93.93 m →
8 821 m²		 N 81.154241°
W124.101562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.155265808105469 y=0.0926437377929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.155265808105469 × 216)
    floor (0.155265808105469 × 65536)
    floor (10175.5)     		tx = 10175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0926437377929688 × 216)
    floor (0.0926437377929688 × 65536)
    floor (6071.5)     		ty = 6071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10175 / 6071 ti = "16/10175/6071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10175/6071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10175 ÷ 216
    10175 ÷ 65536     		x = 0.155258178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6071 ÷ 216
    6071 ÷ 65536     		y = 0.0926361083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.155258178710938 × 2 - 1) × π
    -0.689483642578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.16607675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0926361083984375 × 2 - 1) × π
    0.814727783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55954281831328
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16607675} λ = -2.16607675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55954281831328))-π/2
    2×atan(12.9299046484482)-π/2
    2×1.4936098878795-π/2
    2.987219775759-1.57079632675     		φ = 1.41642345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16607675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.107056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41642345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.155086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10175 KachelY 6071 -2.16607675 1.41642345 -124.107056 81.155086
    Oben rechts KachelX + 1 10176 KachelY 6071 -2.16598087 1.41642345 -124.101562 81.155086
    Unten links KachelX 10175 KachelY + 1 6072 -2.16607675 1.41640871 -124.107056 81.154241
    Unten rechts KachelX + 1 10176 KachelY + 1 6072 -2.16598087 1.41640871 -124.101562 81.154241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41642345-1.41640871) × R
    1.47399999999021e-05 × 6371000     		dl = 93.908539999376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41642345-1.41640871) × R
    1.47399999999021e-05 × 6371000     		dr = 93.908539999376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16607675--2.16598087) × cos(1.41642345) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.153760464016326 × 6371000     		do = 93.9248070102327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16607675--2.16598087) × cos(1.41640871) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.153775028713779 × 6371000     		du = 93.9337038772281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41642345)-sin(1.41640871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153760464016326-0.153775028713779)×R²
    abs(-2.16598087--2.16607675)×1.45646974537283e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.45646974537283e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.45646974537283e-05×40589641000000     		ar = 8820.7592420003m²