Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101748 / 98627
↖ ↑ ↗
← S 66.864320°
E 99.459229°		 ← 120 m → S 66.864320°
E 99.461975°		 →
↑
119.97 m
↓
↑
119.97 m
↓
S 66.865399°
E 99.459229°		 ← 120 m →
14 396 m²		 S 66.865399°
E 99.461975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776279449462891 y=0.752468109130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776279449462891 × 217)
    floor (0.776279449462891 × 131072)
    floor (101748.5)     		tx = 101748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752468109130859 × 217)
    floor (0.752468109130859 × 131072)
    floor (98627.5)     		ty = 98627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101748 / 98627 ti = "17/101748/98627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101748/98627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101748 ÷ 217
    101748 ÷ 131072     		x = 0.776275634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98627 ÷ 217
    98627 ÷ 131072     		y = 0.752464294433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776275634765625 × 2 - 1) × π
    0.55255126953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73589101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752464294433594 × 2 - 1) × π
    -0.504928588867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.58627994532728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73589101} λ = 1.73589101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58627994532728))-π/2
    2×atan(0.204685638953949)-π/2
    2×0.201896895407977-π/2
    0.403793790815953-1.57079632675     		φ = -1.16700254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73589101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.459229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16700254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.864320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101748 KachelY 98627 1.73589101 -1.16700254 99.459229 -66.864320
    Oben rechts KachelX + 1 101749 KachelY 98627 1.73593895 -1.16700254 99.461975 -66.864320
    Unten links KachelX 101748 KachelY + 1 98628 1.73589101 -1.16702137 99.459229 -66.865399
    Unten rechts KachelX + 1 101749 KachelY + 1 98628 1.73593895 -1.16702137 99.461975 -66.865399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16700254--1.16702137) × R
    1.88300000001362e-05 × 6371000     		dl = 119.965930000868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16700254--1.16702137) × R
    1.88300000001362e-05 × 6371000     		dr = 119.965930000868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73589101-1.73593895) × cos(-1.16700254) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39290984055249 × 6371000     		do = 120.004778803948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73589101-1.73593895) × cos(-1.16702137) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.392892524847942 × 6371000     		du = 119.999490142072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16700254)-sin(-1.16702137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39290984055249-0.392892524847942)×R²
    abs(1.73593895-1.73589101)×1.73157045481598e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73157045481598e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73157045481598e-05×40589641000000     		ar = 14396.1676644113m²