Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101745 / 98634
↖ ↑ ↗
← S 66.871873°
E 99.450989°		 ← 119.97 m → S 66.871873°
E 99.453736°		 →
↑
119.97 m
↓
↑
119.97 m
↓
S 66.872952°
E 99.450989°		 ← 119.96 m →
14 392 m²		 S 66.872952°
E 99.453736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776256561279297 y=0.752521514892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776256561279297 × 217)
    floor (0.776256561279297 × 131072)
    floor (101745.5)     		tx = 101745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752521514892578 × 217)
    floor (0.752521514892578 × 131072)
    floor (98634.5)     		ty = 98634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101745 / 98634 ti = "17/101745/98634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101745/98634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101745 ÷ 217
    101745 ÷ 131072     		x = 0.776252746582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98634 ÷ 217
    98634 ÷ 131072     		y = 0.752517700195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776252746582031 × 2 - 1) × π
    0.552505493164062 × 3.1415926535     		Λ = 1.73574720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752517700195312 × 2 - 1) × π
    -0.505035400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58661550362462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73574720} λ = 1.73574720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58661550362462))-π/2
    2×atan(0.2046169665119)-π/2
    2×0.201830983498793-π/2
    0.403661966997585-1.57079632675     		φ = -1.16713436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73574720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.450989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16713436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.871873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101745 KachelY 98634 1.73574720 -1.16713436 99.450989 -66.871873
    Oben rechts KachelX + 1 101746 KachelY 98634 1.73579514 -1.16713436 99.453736 -66.871873
    Unten links KachelX 101745 KachelY + 1 98635 1.73574720 -1.16715319 99.450989 -66.872952
    Unten rechts KachelX + 1 101746 KachelY + 1 98635 1.73579514 -1.16715319 99.453736 -66.872952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16713436--1.16715319) × R
    1.88300000001362e-05 × 6371000     		dl = 119.965930000868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16713436--1.16715319) × R
    1.88300000001362e-05 × 6371000     		dr = 119.965930000868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73574720-1.73579514) × cos(-1.16713436) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.392788618499124 × 6371000     		do = 119.967754468594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73574720-1.73579514) × cos(-1.16715319) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.392771301819478 × 6371000     		du = 119.962465508899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16713436)-sin(-1.16715319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392788618499124-0.392771301819478)×R²
    abs(1.73579514-1.73574720)×1.7316679645496e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7316679645496e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7316679645496e-05×40589641000000     		ar = 14391.7259877617m²