Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101743 / 96657
↖ ↑ ↗
← S 64.643880°
E 99.445495°		 ← 130.80 m → S 64.643880°
E 99.448242°		 →
↑
130.80 m
↓
↑
130.80 m
↓
S 64.645056°
E 99.445495°		 ← 130.79 m →
17 107 m²		 S 64.645056°
E 99.448242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776241302490234 y=0.737438201904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776241302490234 × 217)
    floor (0.776241302490234 × 131072)
    floor (101743.5)     		tx = 101743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737438201904297 × 217)
    floor (0.737438201904297 × 131072)
    floor (96657.5)     		ty = 96657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101743 / 96657 ti = "17/101743/96657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101743/96657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101743 ÷ 217
    101743 ÷ 131072     		x = 0.776237487792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96657 ÷ 217
    96657 ÷ 131072     		y = 0.737434387207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776237487792969 × 2 - 1) × π
    0.552474975585938 × 3.1415926535     		Λ = 1.73565132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737434387207031 × 2 - 1) × π
    -0.474868774414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.49184425307577
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73565132} λ = 1.73565132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49184425307577))-π/2
    2×atan(0.224957394367314)-π/2
    2×0.221273889323245-π/2
    0.442547778646489-1.57079632675     		φ = -1.12824855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73565132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.445495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12824855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.643880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101743 KachelY 96657 1.73565132 -1.12824855 99.445495 -64.643880
    Oben rechts KachelX + 1 101744 KachelY 96657 1.73569926 -1.12824855 99.448242 -64.643880
    Unten links KachelX 101743 KachelY + 1 96658 1.73565132 -1.12826908 99.445495 -64.645056
    Unten rechts KachelX + 1 101744 KachelY + 1 96658 1.73569926 -1.12826908 99.448242 -64.645056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12824855--1.12826908) × R
    2.05300000000186e-05 × 6371000     		dl = 130.796630000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12824855--1.12826908) × R
    2.05300000000186e-05 × 6371000     		dr = 130.796630000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73565132-1.73569926) × cos(-1.12824855) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.428243185443627 × 6371000     		do = 130.796491813991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73565132-1.73569926) × cos(-1.12826908) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.428224633141124 × 6371000     		du = 130.790825463271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12824855)-sin(-1.12826908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428243185443627-0.428224633141124)×R²
    abs(1.73569926-1.73565132)×1.85523025026946e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.85523025026946e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.85523025026946e-05×40589641000000     		ar = 17107.3697760729m²