Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101742 / 96671
↖ ↑ ↗
← S 64.660342°
E 99.442749°		 ← 130.69 m → S 64.660342°
E 99.445495°		 →
↑
130.73 m
↓
↑
130.73 m
↓
S 64.661518°
E 99.442749°		 ← 130.68 m →
17 085 m²		 S 64.661518°
E 99.445495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776233673095703 y=0.737545013427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776233673095703 × 217)
    floor (0.776233673095703 × 131072)
    floor (101742.5)     		tx = 101742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737545013427734 × 217)
    floor (0.737545013427734 × 131072)
    floor (96671.5)     		ty = 96671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101742 / 96671 ti = "17/101742/96671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101742/96671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101742 ÷ 217
    101742 ÷ 131072     		x = 0.776229858398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96671 ÷ 217
    96671 ÷ 131072     		y = 0.737541198730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776229858398438 × 2 - 1) × π
    0.552459716796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73560339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737541198730469 × 2 - 1) × π
    -0.475082397460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.49251536967045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73560339} λ = 1.73560339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49251536967045))-π/2
    2×atan(0.22480647237565)-π/2
    2×0.221130232336275-π/2
    0.442260464672549-1.57079632675     		φ = -1.12853586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73560339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.442749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12853586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.660342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101742 KachelY 96671 1.73560339 -1.12853586 99.442749 -64.660342
    Oben rechts KachelX + 1 101743 KachelY 96671 1.73565132 -1.12853586 99.445495 -64.660342
    Unten links KachelX 101742 KachelY + 1 96672 1.73560339 -1.12855638 99.442749 -64.661518
    Unten rechts KachelX + 1 101743 KachelY + 1 96672 1.73565132 -1.12855638 99.445495 -64.661518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12853586--1.12855638) × R
    2.05200000000794e-05 × 6371000     		dl = 130.732920000506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12853586--1.12855638) × R
    2.05200000000794e-05 × 6371000     		dr = 130.732920000506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73560339-1.73565132) × cos(-1.12853586) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.427983536203503 × 6371000     		do = 130.68992142176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73560339-1.73565132) × cos(-1.12855638) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.427964990413793 × 6371000     		du = 130.684258241766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12853586)-sin(-1.12855638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427983536203503-0.427964990413793)×R²
    abs(1.73565132-1.73560339)×1.85457897105556e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.85457897105556e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.85457897105556e-05×40589641000000     		ar = 17085.1048605463m²