Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101740 / 96644
↖ ↑ ↗
← S 64.628585°
E 99.437256°		 ← 130.87 m → S 64.628585°
E 99.440002°		 →
↑
130.86 m
↓
↑
130.86 m
↓
S 64.629762°
E 99.437256°		 ← 130.86 m →
17 125 m²		 S 64.629762°
E 99.440002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776218414306641 y=0.737339019775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776218414306641 × 217)
    floor (0.776218414306641 × 131072)
    floor (101740.5)     		tx = 101740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737339019775391 × 217)
    floor (0.737339019775391 × 131072)
    floor (96644.5)     		ty = 96644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101740 / 96644 ti = "17/101740/96644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101740/96644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101740 ÷ 217
    101740 ÷ 131072     		x = 0.776214599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96644 ÷ 217
    96644 ÷ 131072     		y = 0.737335205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776214599609375 × 2 - 1) × π
    0.55242919921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73550751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737335205078125 × 2 - 1) × π
    -0.47467041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49122107338071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73550751} λ = 1.73550751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49122107338071))-π/2
    2×atan(0.225097626938245)-π/2
    2×0.22140736313005-π/2
    0.4428147262601-1.57079632675     		φ = -1.12798160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73550751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.437256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12798160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.628585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101740 KachelY 96644 1.73550751 -1.12798160 99.437256 -64.628585
    Oben rechts KachelX + 1 101741 KachelY 96644 1.73555545 -1.12798160 99.440002 -64.628585
    Unten links KachelX 101740 KachelY + 1 96645 1.73550751 -1.12800214 99.437256 -64.629762
    Unten rechts KachelX + 1 101741 KachelY + 1 96645 1.73555545 -1.12800214 99.440002 -64.629762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12798160--1.12800214) × R
    2.05399999999578e-05 × 6371000     		dl = 130.860339999731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12798160--1.12800214) × R
    2.05399999999578e-05 × 6371000     		dr = 130.860339999731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73550751-1.73555545) × cos(-1.12798160) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.428484403161101 × 6371000     		do = 130.870165914458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73550751-1.73555545) × cos(-1.12800214) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.428465844170608 × 6371000     		du = 130.864497521053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12798160)-sin(-1.12800214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428484403161101-0.428465844170608)×R²
    abs(1.73555545-1.73550751)×1.85589904925232e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.85589904925232e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.85589904925232e-05×40589641000000     		ar = 17125.3435239051m²