Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101735 / 96661
↖ ↑ ↗
← S 64.648585°
E 99.423523°		 ← 130.77 m → S 64.648585°
E 99.426270°		 →
↑
130.73 m
↓
↑
130.73 m
↓
S 64.649760°
E 99.423523°		 ← 130.77 m →
17 096 m²		 S 64.649760°
E 99.426270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776180267333984 y=0.737468719482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776180267333984 × 217)
    floor (0.776180267333984 × 131072)
    floor (101735.5)     		tx = 101735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737468719482422 × 217)
    floor (0.737468719482422 × 131072)
    floor (96661.5)     		ty = 96661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101735 / 96661 ti = "17/101735/96661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101735/96661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101735 ÷ 217
    101735 ÷ 131072     		x = 0.776176452636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96661 ÷ 217
    96661 ÷ 131072     		y = 0.737464904785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776176452636719 × 2 - 1) × π
    0.552352905273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.73526783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737464904785156 × 2 - 1) × π
    -0.474929809570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.49203600067425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73526783} λ = 1.73526783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49203600067425))-π/2
    2×atan(0.22491426346244)-π/2
    2×0.221232835578846-π/2
    0.442465671157692-1.57079632675     		φ = -1.12833066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73526783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.423523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12833066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.648585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101735 KachelY 96661 1.73526783 -1.12833066 99.423523 -64.648585
    Oben rechts KachelX + 1 101736 KachelY 96661 1.73531577 -1.12833066 99.426270 -64.648585
    Unten links KachelX 101735 KachelY + 1 96662 1.73526783 -1.12835118 99.423523 -64.649760
    Unten rechts KachelX + 1 101736 KachelY + 1 96662 1.73531577 -1.12835118 99.426270 -64.649760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12833066--1.12835118) × R
    2.05199999998573e-05 × 6371000     		dl = 130.732919999091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12833066--1.12835118) × R
    2.05199999998573e-05 × 6371000     		dr = 130.732919999091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73526783-1.73531577) × cos(-1.12833066) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.428168984187703 × 6371000     		do = 130.773828840492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73526783-1.73531577) × cos(-1.12835118) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.428150440200456 × 6371000     		du = 130.768165029464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12833066)-sin(-1.12835118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428168984187703-0.428150440200456)×R²
    abs(1.73531577-1.73526783)×1.85439872469328e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.85439872469328e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.85439872469328e-05×40589641000000     		ar = 17096.0742810967m²