Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101721 / 97502
↖ ↑ ↗
← S 65.619755°
E 99.385071°		 ← 126.08 m → S 65.619755°
E 99.387817°		 →
↑
126.08 m
↓
↑
126.08 m
↓
S 65.620889°
E 99.385071°		 ← 126.07 m →
15 896 m²		 S 65.620889°
E 99.387817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776073455810547 y=0.743885040283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776073455810547 × 217)
    floor (0.776073455810547 × 131072)
    floor (101721.5)     		tx = 101721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743885040283203 × 217)
    floor (0.743885040283203 × 131072)
    floor (97502.5)     		ty = 97502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101721 / 97502 ti = "17/101721/97502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101721/97502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101721 ÷ 217
    101721 ÷ 131072     		x = 0.776069641113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97502 ÷ 217
    97502 ÷ 131072     		y = 0.743881225585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776069641113281 × 2 - 1) × π
    0.552139282226562 × 3.1415926535     		Λ = 1.73459671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743881225585938 × 2 - 1) × π
    -0.487762451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53235093325471
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73459671} λ = 1.73459671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53235093325471))-π/2
    2×atan(0.216027204330338)-π/2
    2×0.212757772208978-π/2
    0.425515544417956-1.57079632675     		φ = -1.14528078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73459671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.385071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14528078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.619755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101721 KachelY 97502 1.73459671 -1.14528078 99.385071 -65.619755
    Oben rechts KachelX + 1 101722 KachelY 97502 1.73464465 -1.14528078 99.387817 -65.619755
    Unten links KachelX 101721 KachelY + 1 97503 1.73459671 -1.14530057 99.385071 -65.620889
    Unten rechts KachelX + 1 101722 KachelY + 1 97503 1.73464465 -1.14530057 99.387817 -65.620889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14528078--1.14530057) × R
    1.9790000000075e-05 × 6371000     		dl = 126.082090000478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14528078--1.14530057) × R
    1.9790000000075e-05 × 6371000     		dr = 126.082090000478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73459671-1.73464465) × cos(-1.14528078) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41279041002636 × 6371000     		do = 126.076816447122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73459671-1.73464465) × cos(-1.14530057) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412772384698172 × 6371000     		du = 126.071311047921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14528078)-sin(-1.14530057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41279041002636-0.412772384698172)×R²
    abs(1.73464465-1.73459671)×1.8025328188398e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8025328188398e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8025328188398e-05×40589641000000     		ar = 15895.6814525211m²