Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101720 / 97614
↖ ↑ ↗
← S 65.746426°
E 99.382324°		 ← 125.44 m → S 65.746426°
E 99.385071°		 →
↑
125.51 m
↓
↑
125.51 m
↓
S 65.747555°
E 99.382324°		 ← 125.43 m →
15 743 m²		 S 65.747555°
E 99.385071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776065826416016 y=0.744739532470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776065826416016 × 217)
    floor (0.776065826416016 × 131072)
    floor (101720.5)     		tx = 101720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744739532470703 × 217)
    floor (0.744739532470703 × 131072)
    floor (97614.5)     		ty = 97614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101720 / 97614 ti = "17/101720/97614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101720/97614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101720 ÷ 217
    101720 ÷ 131072     		x = 0.77606201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97614 ÷ 217
    97614 ÷ 131072     		y = 0.744735717773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77606201171875 × 2 - 1) × π
    0.5521240234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73454878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744735717773438 × 2 - 1) × π
    -0.489471435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53771986601216
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73454878} λ = 1.73454878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53771986601216))-π/2
    2×atan(0.214870476771347)-π/2
    2×0.211652356177027-π/2
    0.423304712354054-1.57079632675     		φ = -1.14749161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73454878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.382324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14749161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.746426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101720 KachelY 97614 1.73454878 -1.14749161 99.382324 -65.746426
    Oben rechts KachelX + 1 101721 KachelY 97614 1.73459671 -1.14749161 99.385071 -65.746426
    Unten links KachelX 101720 KachelY + 1 97615 1.73454878 -1.14751131 99.382324 -65.747555
    Unten rechts KachelX + 1 101721 KachelY + 1 97615 1.73459671 -1.14751131 99.385071 -65.747555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14749161--1.14751131) × R
    1.96999999999559e-05 × 6371000     		dl = 125.508699999719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14749161--1.14751131) × R
    1.96999999999559e-05 × 6371000     		dr = 125.508699999719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73454878-1.73459671) × cos(-1.14749161) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.410775721318287 × 6371000     		do = 125.435308136543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73454878-1.73459671) × cos(-1.14751131) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.410757760031027 × 6371000     		du = 125.429823441404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14749161)-sin(-1.14751131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410775721318287-0.410757760031027)×R²
    abs(1.73459671-1.73454878)×1.79612872597823e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79612872597823e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79612872597823e-05×40589641000000     		ar = 15742.8782704001m²