Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101719 / 97615
↖ ↑ ↗
← S 65.747555°
E 99.379578°		 ← 125.46 m → S 65.747555°
E 99.382324°		 →
↑
125.44 m
↓
↑
125.44 m
↓
S 65.748683°
E 99.379578°		 ← 125.45 m →
15 737 m²		 S 65.748683°
E 99.382324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776058197021484 y=0.744747161865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776058197021484 × 217)
    floor (0.776058197021484 × 131072)
    floor (101719.5)     		tx = 101719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744747161865234 × 217)
    floor (0.744747161865234 × 131072)
    floor (97615.5)     		ty = 97615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101719 / 97615 ti = "17/101719/97615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101719/97615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101719 ÷ 217
    101719 ÷ 131072     		x = 0.776054382324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97615 ÷ 217
    97615 ÷ 131072     		y = 0.744743347167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776054382324219 × 2 - 1) × π
    0.552108764648438 × 3.1415926535     		Λ = 1.73450084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744743347167969 × 2 - 1) × π
    -0.489486694335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.53776780291178
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73450084} λ = 1.73450084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53776780291178))-π/2
    2×atan(0.214860176793748)-π/2
    2×0.211642510735018-π/2
    0.423285021470037-1.57079632675     		φ = -1.14751131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73450084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.379578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14751131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.747555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101719 KachelY 97615 1.73450084 -1.14751131 99.379578 -65.747555
    Oben rechts KachelX + 1 101720 KachelY 97615 1.73454878 -1.14751131 99.382324 -65.747555
    Unten links KachelX 101719 KachelY + 1 97616 1.73450084 -1.14753100 99.379578 -65.748683
    Unten rechts KachelX + 1 101720 KachelY + 1 97616 1.73454878 -1.14753100 99.382324 -65.748683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14751131--1.14753100) × R
    1.96900000000166e-05 × 6371000     		dl = 125.444990000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14751131--1.14753100) × R
    1.96900000000166e-05 × 6371000     		dr = 125.444990000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73450084-1.73454878) × cos(-1.14751131) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.410757760031027 × 6371000     		do = 125.455992818136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73450084-1.73454878) × cos(-1.14753100) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.410739807701882 × 6371000     		du = 125.450509714723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14751131)-sin(-1.14753100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410757760031027-0.410739807701882)×R²
    abs(1.73454878-1.73450084)×1.79523291447548e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79523291447548e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79523291447548e-05×40589641000000     		ar = 15737.4818511948m²