Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101716 / 97588
↖ ↑ ↗
← S 65.717076°
E 99.371338°		 ← 125.60 m → S 65.717076°
E 99.374085°		 →
↑
125.57 m
↓
↑
125.57 m
↓
S 65.718205°
E 99.371338°		 ← 125.60 m →
15 772 m²		 S 65.718205°
E 99.374085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776035308837891 y=0.744541168212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776035308837891 × 217)
    floor (0.776035308837891 × 131072)
    floor (101716.5)     		tx = 101716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744541168212891 × 217)
    floor (0.744541168212891 × 131072)
    floor (97588.5)     		ty = 97588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101716 / 97588 ti = "17/101716/97588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101716/97588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101716 ÷ 217
    101716 ÷ 131072     		x = 0.776031494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97588 ÷ 217
    97588 ÷ 131072     		y = 0.744537353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776031494140625 × 2 - 1) × π
    0.55206298828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73435703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744537353515625 × 2 - 1) × π
    -0.48907470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53647350662204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73435703} λ = 1.73435703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53647350662204))-π/2
    2×atan(0.215138449568248)-π/2
    2×0.211908488752786-π/2
    0.423816977505572-1.57079632675     		φ = -1.14697935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73435703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.371338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14697935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.717076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101716 KachelY 97588 1.73435703 -1.14697935 99.371338 -65.717076
    Oben rechts KachelX + 1 101717 KachelY 97588 1.73440497 -1.14697935 99.374085 -65.717076
    Unten links KachelX 101716 KachelY + 1 97589 1.73435703 -1.14699906 99.371338 -65.718205
    Unten rechts KachelX + 1 101717 KachelY + 1 97589 1.73440497 -1.14699906 99.374085 -65.718205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14697935--1.14699906) × R
    1.97099999998951e-05 × 6371000     		dl = 125.572409999332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14697935--1.14699906) × R
    1.97099999998951e-05 × 6371000     		dr = 125.572409999332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73435703-1.73440497) × cos(-1.14697935) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411242713502508 × 6371000     		do = 125.604110091029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73435703-1.73440497) × cos(-1.14699906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411224747247526 × 6371000     		du = 125.598622734306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14697935)-sin(-1.14699906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411242713502508-0.411224747247526)×R²
    abs(1.73440497-1.73435703)×1.79662549815163e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79662549815163e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79662549815163e-05×40589641000000     		ar = 15772.0662802212m²