Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101710 / 97598
↖ ↑ ↗
← S 65.728368°
E 99.354859°		 ← 125.52 m → S 65.728368°
E 99.357605°		 →
↑
125.57 m
↓
↑
125.57 m
↓
S 65.729498°
E 99.354859°		 ← 125.52 m →
15 762 m²		 S 65.729498°
E 99.357605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775989532470703 y=0.744617462158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775989532470703 × 217)
    floor (0.775989532470703 × 131072)
    floor (101710.5)     		tx = 101710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744617462158203 × 217)
    floor (0.744617462158203 × 131072)
    floor (97598.5)     		ty = 97598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101710 / 97598 ti = "17/101710/97598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101710/97598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101710 ÷ 217
    101710 ÷ 131072     		x = 0.775985717773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97598 ÷ 217
    97598 ÷ 131072     		y = 0.744613647460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775985717773438 × 2 - 1) × π
    0.551971435546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73406941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744613647460938 × 2 - 1) × π
    -0.489227294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53695287561824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73406941} λ = 1.73406941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53695287561824))-π/2
    2×atan(0.215035343580515)-π/2
    2×0.21180994178186-π/2
    0.42361988356372-1.57079632675     		φ = -1.14717644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73406941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.354859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14717644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.728368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101710 KachelY 97598 1.73406941 -1.14717644 99.354859 -65.728368
    Oben rechts KachelX + 1 101711 KachelY 97598 1.73411734 -1.14717644 99.357605 -65.728368
    Unten links KachelX 101710 KachelY + 1 97599 1.73406941 -1.14719615 99.354859 -65.729498
    Unten rechts KachelX + 1 101711 KachelY + 1 97599 1.73411734 -1.14719615 99.357605 -65.729498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14717644--1.14719615) × R
    1.97100000001171e-05 × 6371000     		dl = 125.572410000746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14717644--1.14719615) × R
    1.97100000001171e-05 × 6371000     		dr = 125.572410000746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73406941-1.73411734) × cos(-1.14717644) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.411063052880656 × 6371000     		do = 125.523048285711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73406941-1.73411734) × cos(-1.14719615) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.411045085028526 × 6371000     		du = 125.51756158591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14717644)-sin(-1.14719615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411063052880656-0.411045085028526)×R²
    abs(1.73411734-1.73406941)×1.79678521293747e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79678521293747e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79678521293747e-05×40589641000000     		ar = 15761.8871953958m²