Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101708 / 98043
↖ ↑ ↗
← S 66.225922°
E 99.349365°		 ← 123.13 m → S 66.225922°
E 99.352112°		 →
↑
123.09 m
↓
↑
123.09 m
↓
S 66.227029°
E 99.349365°		 ← 123.12 m →
15 155 m²		 S 66.227029°
E 99.352112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775974273681641 y=0.748012542724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775974273681641 × 217)
    floor (0.775974273681641 × 131072)
    floor (101708.5)     		tx = 101708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748012542724609 × 217)
    floor (0.748012542724609 × 131072)
    floor (98043.5)     		ty = 98043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101708 / 98043 ti = "17/101708/98043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101708/98043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101708 ÷ 217
    101708 ÷ 131072     		x = 0.775970458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98043 ÷ 217
    98043 ÷ 131072     		y = 0.748008728027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775970458984375 × 2 - 1) × π
    0.55194091796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73397353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748008728027344 × 2 - 1) × π
    -0.496017456054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.55828479594917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73397353} λ = 1.73397353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55828479594917))-π/2
    2×atan(0.210496806720389)-π/2
    2×0.207467969572316-π/2
    0.414935939144633-1.57079632675     		φ = -1.15586039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73397353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.349365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15586039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.225922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101708 KachelY 98043 1.73397353 -1.15586039 99.349365 -66.225922
    Oben rechts KachelX + 1 101709 KachelY 98043 1.73402147 -1.15586039 99.352112 -66.225922
    Unten links KachelX 101708 KachelY + 1 98044 1.73397353 -1.15587971 99.349365 -66.227029
    Unten rechts KachelX + 1 101709 KachelY + 1 98044 1.73402147 -1.15587971 99.352112 -66.227029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15586039--1.15587971) × R
    1.93200000000449e-05 × 6371000     		dl = 123.087720000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15586039--1.15587971) × R
    1.93200000000449e-05 × 6371000     		dr = 123.087720000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73397353-1.73402147) × cos(-1.15586039) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403131304273769 × 6371000     		do = 123.1266769249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73397353-1.73402147) × cos(-1.15587971) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403113623652229 × 6371000     		du = 123.121276807983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15586039)-sin(-1.15587971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403131304273769-0.403113623652229)×R²
    abs(1.73402147-1.73397353)×1.76806215401726e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76806215401726e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76806215401726e-05×40589641000000     		ar = 15155.0495902998m²