Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101706 / 98035
↖ ↑ ↗
← S 66.217062°
E 99.343872°		 ← 123.17 m → S 66.217062°
E 99.346619°		 →
↑
123.15 m
↓
↑
123.15 m
↓
S 66.218170°
E 99.343872°		 ← 123.16 m →
15 168 m²		 S 66.218170°
E 99.346619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775959014892578 y=0.747951507568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775959014892578 × 217)
    floor (0.775959014892578 × 131072)
    floor (101706.5)     		tx = 101706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747951507568359 × 217)
    floor (0.747951507568359 × 131072)
    floor (98035.5)     		ty = 98035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101706 / 98035 ti = "17/101706/98035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101706/98035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101706 ÷ 217
    101706 ÷ 131072     		x = 0.775955200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98035 ÷ 217
    98035 ÷ 131072     		y = 0.747947692871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775955200195312 × 2 - 1) × π
    0.551910400390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73387766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747947692871094 × 2 - 1) × π
    -0.495895385742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.5579013007522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73387766} λ = 1.73387766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5579013007522))-π/2
    2×atan(0.210577546715452)-π/2
    2×0.207545282597698-π/2
    0.415090565195396-1.57079632675     		φ = -1.15570576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73387766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.343872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15570576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.217062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101706 KachelY 98035 1.73387766 -1.15570576 99.343872 -66.217062
    Oben rechts KachelX + 1 101707 KachelY 98035 1.73392560 -1.15570576 99.346619 -66.217062
    Unten links KachelX 101706 KachelY + 1 98036 1.73387766 -1.15572509 99.343872 -66.218170
    Unten rechts KachelX + 1 101707 KachelY + 1 98036 1.73392560 -1.15572509 99.346619 -66.218170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15570576--1.15572509) × R
    1.93299999999841e-05 × 6371000     		dl = 123.151429999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15570576--1.15572509) × R
    1.93299999999841e-05 × 6371000     		dr = 123.151429999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73387766-1.73392560) × cos(-1.15570576) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403272807884067 × 6371000     		do = 123.169895769788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73387766-1.73392560) × cos(-1.15572509) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403255119316171 × 6371000     		du = 123.164493225849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15570576)-sin(-1.15572509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403272807884067-0.403255119316171)×R²
    abs(1.73392560-1.73387766)×1.76885678958016e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76885678958016e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76885678958016e-05×40589641000000     		ar = 15168.2161320242m²