Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101706 / 97354
↖ ↑ ↗
← S 65.451415°
E 99.343872°		 ← 126.89 m → S 65.451415°
E 99.346619°		 →
↑
126.85 m
↓
↑
126.85 m
↓
S 65.452556°
E 99.343872°		 ← 126.89 m →
16 096 m²		 S 65.452556°
E 99.346619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775959014892578 y=0.742755889892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775959014892578 × 217)
    floor (0.775959014892578 × 131072)
    floor (101706.5)     		tx = 101706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742755889892578 × 217)
    floor (0.742755889892578 × 131072)
    floor (97354.5)     		ty = 97354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101706 / 97354 ti = "17/101706/97354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101706/97354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101706 ÷ 217
    101706 ÷ 131072     		x = 0.775955200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97354 ÷ 217
    97354 ÷ 131072     		y = 0.742752075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775955200195312 × 2 - 1) × π
    0.551910400390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73387766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742752075195312 × 2 - 1) × π
    -0.485504150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52525627211095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73387766} λ = 1.73387766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52525627211095))-π/2
    2×atan(0.217565293803168)-π/2
    2×0.214226815507739-π/2
    0.428453631015477-1.57079632675     		φ = -1.14234270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73387766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.343872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14234270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.451415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101706 KachelY 97354 1.73387766 -1.14234270 99.343872 -65.451415
    Oben rechts KachelX + 1 101707 KachelY 97354 1.73392560 -1.14234270 99.346619 -65.451415
    Unten links KachelX 101706 KachelY + 1 97355 1.73387766 -1.14236261 99.343872 -65.452556
    Unten rechts KachelX + 1 101707 KachelY + 1 97355 1.73392560 -1.14236261 99.346619 -65.452556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14234270--1.14236261) × R
    1.99100000000119e-05 × 6371000     		dl = 126.846610000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14234270--1.14236261) × R
    1.99100000000119e-05 × 6371000     		dr = 126.846610000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73387766-1.73392560) × cos(-1.14234270) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415464704284511 × 6371000     		do = 126.893614749895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73387766-1.73392560) × cos(-1.14236261) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415446593880993 × 6371000     		du = 126.888083366498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14234270)-sin(-1.14236261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415464704284511-0.415446593880993)×R²
    abs(1.73392560-1.73387766)×1.81104035178459e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81104035178459e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81104035178459e-05×40589641000000     		ar = 16095.6740437517m²