Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101705 / 98038
↖ ↑ ↗
← S 66.220385°
E 99.341125°		 ← 123.15 m → S 66.220385°
E 99.343872°		 →
↑
123.15 m
↓
↑
123.15 m
↓
S 66.221493°
E 99.341125°		 ← 123.15 m →
15 166 m²		 S 66.221493°
E 99.343872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775951385498047 y=0.747974395751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775951385498047 × 217)
    floor (0.775951385498047 × 131072)
    floor (101705.5)     		tx = 101705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747974395751953 × 217)
    floor (0.747974395751953 × 131072)
    floor (98038.5)     		ty = 98038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101705 / 98038 ti = "17/101705/98038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101705/98038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101705 ÷ 217
    101705 ÷ 131072     		x = 0.775947570800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98038 ÷ 217
    98038 ÷ 131072     		y = 0.747970581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775947570800781 × 2 - 1) × π
    0.551895141601562 × 3.1415926535     		Λ = 1.73382972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747970581054688 × 2 - 1) × π
    -0.495941162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55804511145107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73382972} λ = 1.73382972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55804511145107))-π/2
    2×atan(0.210547265588722)-π/2
    2×0.207516287033578-π/2
    0.415032574067156-1.57079632675     		φ = -1.15576375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73382972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.341125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15576375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.220385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101705 KachelY 98038 1.73382972 -1.15576375 99.341125 -66.220385
    Oben rechts KachelX + 1 101706 KachelY 98038 1.73387766 -1.15576375 99.343872 -66.220385
    Unten links KachelX 101705 KachelY + 1 98039 1.73382972 -1.15578308 99.341125 -66.221493
    Unten rechts KachelX + 1 101706 KachelY + 1 98039 1.73387766 -1.15578308 99.343872 -66.221493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15576375--1.15578308) × R
    1.93299999999841e-05 × 6371000     		dl = 123.151429999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15576375--1.15578308) × R
    1.93299999999841e-05 × 6371000     		dr = 123.151429999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73382972-1.73387766) × cos(-1.15576375) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.403219741728359 × 6371000     		do = 123.153688000482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73382972-1.73387766) × cos(-1.15578308) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.403202052708455 × 6371000     		du = 123.148285318489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15576375)-sin(-1.15578308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403219741728359-0.403202052708455)×R²
    abs(1.73387766-1.73382972)×1.76890199034552e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.76890199034552e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.76890199034552e-05×40589641000000     		ar = 15166.2201136057m²