Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101705 / 97353
↖ ↑ ↗
← S 65.450274°
E 99.341125°		 ← 126.90 m → S 65.450274°
E 99.343872°		 →
↑
126.91 m
↓
↑
126.91 m
↓
S 65.451415°
E 99.341125°		 ← 126.89 m →
16 104 m²		 S 65.451415°
E 99.343872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775951385498047 y=0.742748260498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775951385498047 × 217)
    floor (0.775951385498047 × 131072)
    floor (101705.5)     		tx = 101705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742748260498047 × 217)
    floor (0.742748260498047 × 131072)
    floor (97353.5)     		ty = 97353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101705 / 97353 ti = "17/101705/97353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101705/97353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101705 ÷ 217
    101705 ÷ 131072     		x = 0.775947570800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97353 ÷ 217
    97353 ÷ 131072     		y = 0.742744445800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775947570800781 × 2 - 1) × π
    0.551895141601562 × 3.1415926535     		Λ = 1.73382972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742744445800781 × 2 - 1) × π
    -0.485488891601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.52520833521133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73382972} λ = 1.73382972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52520833521133))-π/2
    2×atan(0.217575723458798)-π/2
    2×0.21423677376985-π/2
    0.428473547539701-1.57079632675     		φ = -1.14232278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73382972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.341125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14232278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.450274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101705 KachelY 97353 1.73382972 -1.14232278 99.341125 -65.450274
    Oben rechts KachelX + 1 101706 KachelY 97353 1.73387766 -1.14232278 99.343872 -65.450274
    Unten links KachelX 101705 KachelY + 1 97354 1.73382972 -1.14234270 99.341125 -65.451415
    Unten rechts KachelX + 1 101706 KachelY + 1 97354 1.73387766 -1.14234270 99.343872 -65.451415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14232278--1.14234270) × R
    1.99199999999511e-05 × 6371000     		dl = 126.910319999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14232278--1.14234270) × R
    1.99199999999511e-05 × 6371000     		dr = 126.910319999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73382972-1.73387766) × cos(-1.14232278) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.415482823619345 × 6371000     		do = 126.899148861733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73382972-1.73387766) × cos(-1.14234270) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.415464704284511 × 6371000     		du = 126.893614750482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14232278)-sin(-1.14234270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415482823619345-0.415464704284511)×R²
    abs(1.73387766-1.73382972)×1.81193348345321e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.81193348345321e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.81193348345321e-05×40589641000000     		ar = 16104.4604223992m²