Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101702 / 97606
↖ ↑ ↗
← S 65.737399°
E 99.332886°		 ← 125.51 m → S 65.737399°
E 99.335632°		 →
↑
125.44 m
↓
↑
125.44 m
↓
S 65.738527°
E 99.332886°		 ← 125.50 m →
15 744 m²		 S 65.738527°
E 99.335632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775928497314453 y=0.744678497314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775928497314453 × 217)
    floor (0.775928497314453 × 131072)
    floor (101702.5)     		tx = 101702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744678497314453 × 217)
    floor (0.744678497314453 × 131072)
    floor (97606.5)     		ty = 97606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101702 / 97606 ti = "17/101702/97606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101702/97606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101702 ÷ 217
    101702 ÷ 131072     		x = 0.775924682617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97606 ÷ 217
    97606 ÷ 131072     		y = 0.744674682617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775924682617188 × 2 - 1) × π
    0.551849365234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73368591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744674682617188 × 2 - 1) × π
    -0.489349365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.5373363708152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73368591} λ = 1.73368591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5373363708152))-π/2
    2×atan(0.214952894369524)-π/2
    2×0.211731135205607-π/2
    0.423462270411213-1.57079632675     		φ = -1.14733406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73368591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.332886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14733406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.737399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101702 KachelY 97606 1.73368591 -1.14733406 99.332886 -65.737399
    Oben rechts KachelX + 1 101703 KachelY 97606 1.73373385 -1.14733406 99.335632 -65.737399
    Unten links KachelX 101702 KachelY + 1 97607 1.73368591 -1.14735375 99.332886 -65.738527
    Unten rechts KachelX + 1 101703 KachelY + 1 97607 1.73373385 -1.14735375 99.335632 -65.738527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14733406--1.14735375) × R
    1.96900000000166e-05 × 6371000     		dl = 125.444990000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14733406--1.14735375) × R
    1.96900000000166e-05 × 6371000     		dr = 125.444990000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73368591-1.73373385) × cos(-1.14733406) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.410919360293149 × 6371000     		do = 125.505349697779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73368591-1.73373385) × cos(-1.14735375) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.410901409397821 × 6371000     		du = 125.49986703229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14733406)-sin(-1.14735375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410919360293149-0.410901409397821)×R²
    abs(1.73373385-1.73368591)×1.79508953279117e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79508953279117e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79508953279117e-05×40589641000000     		ar = 15743.6734517261m²