Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101701 / 97605
↖ ↑ ↗
← S 65.736271°
E 99.330139°		 ← 125.51 m → S 65.736271°
E 99.332886°		 →
↑
125.51 m
↓
↑
125.51 m
↓
S 65.737399°
E 99.330139°		 ← 125.51 m →
15 752 m²		 S 65.737399°
E 99.332886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775920867919922 y=0.744670867919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775920867919922 × 217)
    floor (0.775920867919922 × 131072)
    floor (101701.5)     		tx = 101701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744670867919922 × 217)
    floor (0.744670867919922 × 131072)
    floor (97605.5)     		ty = 97605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101701 / 97605 ti = "17/101701/97605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101701/97605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101701 ÷ 217
    101701 ÷ 131072     		x = 0.775917053222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97605 ÷ 217
    97605 ÷ 131072     		y = 0.744667053222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775917053222656 × 2 - 1) × π
    0.551834106445312 × 3.1415926535     		Λ = 1.73363797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744667053222656 × 2 - 1) × π
    -0.489334106445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.53728843391558
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73363797} λ = 1.73363797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53728843391558))-π/2
    2×atan(0.214963198791824)-π/2
    2×0.211740984520967-π/2
    0.423481969041935-1.57079632675     		φ = -1.14731436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73363797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.330139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14731436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.736271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101701 KachelY 97605 1.73363797 -1.14731436 99.330139 -65.736271
    Oben rechts KachelX + 1 101702 KachelY 97605 1.73368591 -1.14731436 99.332886 -65.736271
    Unten links KachelX 101701 KachelY + 1 97606 1.73363797 -1.14733406 99.330139 -65.737399
    Unten rechts KachelX + 1 101702 KachelY + 1 97606 1.73368591 -1.14733406 99.332886 -65.737399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14731436--1.14733406) × R
    1.96999999999559e-05 × 6371000     		dl = 125.508699999719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14731436--1.14733406) × R
    1.96999999999559e-05 × 6371000     		dr = 125.508699999719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73363797-1.73368591) × cos(-1.14731436) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.410937320145801 × 6371000     		do = 125.510835099066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73363797-1.73368591) × cos(-1.14733406) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.410919360293149 × 6371000     		du = 125.505349697779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14731436)-sin(-1.14733406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410937320145801-0.410919360293149)×R²
    abs(1.73368591-1.73363797)×1.79598526520719e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79598526520719e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79598526520719e-05×40589641000000     		ar = 15752.3575169237m²