Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101701 / 97334
↖ ↑ ↗
← S 65.428583°
E 99.330139°		 ← 127 m → S 65.428583°
E 99.332886°		 →
↑
126.97 m
↓
↑
126.97 m
↓
S 65.429725°
E 99.330139°		 ← 127 m →
16 126 m²		 S 65.429725°
E 99.332886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775920867919922 y=0.742603302001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775920867919922 × 217)
    floor (0.775920867919922 × 131072)
    floor (101701.5)     		tx = 101701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742603302001953 × 217)
    floor (0.742603302001953 × 131072)
    floor (97334.5)     		ty = 97334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101701 / 97334 ti = "17/101701/97334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101701/97334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101701 ÷ 217
    101701 ÷ 131072     		x = 0.775917053222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97334 ÷ 217
    97334 ÷ 131072     		y = 0.742599487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775917053222656 × 2 - 1) × π
    0.551834106445312 × 3.1415926535     		Λ = 1.73363797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742599487304688 × 2 - 1) × π
    -0.485198974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52429753411855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73363797} λ = 1.73363797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52429753411855))-π/2
    2×atan(0.217773981938802)-π/2
    2×0.214426063269626-π/2
    0.428852126539251-1.57079632675     		φ = -1.14194420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73363797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.330139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14194420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.428583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101701 KachelY 97334 1.73363797 -1.14194420 99.330139 -65.428583
    Oben rechts KachelX + 1 101702 KachelY 97334 1.73368591 -1.14194420 99.332886 -65.428583
    Unten links KachelX 101701 KachelY + 1 97335 1.73363797 -1.14196413 99.330139 -65.429725
    Unten rechts KachelX + 1 101702 KachelY + 1 97335 1.73368591 -1.14196413 99.332886 -65.429725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14194420--1.14196413) × R
    1.99300000001124e-05 × 6371000     		dl = 126.974030000716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14194420--1.14196413) × R
    1.99300000001124e-05 × 6371000     		dr = 126.974030000716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73363797-1.73368591) × cos(-1.14194420) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415827150592788 × 6371000     		do = 127.00431518181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73363797-1.73368591) × cos(-1.14196413) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41580902529795 × 6371000     		du = 126.998779250222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14194420)-sin(-1.14196413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415827150592788-0.41580902529795)×R²
    abs(1.73368591-1.73363797)×1.81252948378563e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81252948378563e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81252948378563e-05×40589641000000     		ar = 16125.8982669101m²