Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101699 / 97609
↖ ↑ ↗
← S 65.740785°
E 99.324646°		 ← 125.49 m → S 65.740785°
E 99.327393°		 →
↑
125.44 m
↓
↑
125.44 m
↓
S 65.741913°
E 99.324646°		 ← 125.48 m →
15 742 m²		 S 65.741913°
E 99.327393°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775905609130859 y=0.744701385498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775905609130859 × 217)
    floor (0.775905609130859 × 131072)
    floor (101699.5)     		tx = 101699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744701385498047 × 217)
    floor (0.744701385498047 × 131072)
    floor (97609.5)     		ty = 97609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101699 / 97609 ti = "17/101699/97609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101699/97609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101699 ÷ 217
    101699 ÷ 131072     		x = 0.775901794433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97609 ÷ 217
    97609 ÷ 131072     		y = 0.744697570800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775901794433594 × 2 - 1) × π
    0.551803588867188 × 3.1415926535     		Λ = 1.73354210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744697570800781 × 2 - 1) × π
    -0.489395141601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.53748018151406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73354210} λ = 1.73354210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53748018151406))-π/2
    2×atan(0.214921984066232)-π/2
    2×0.211701589842058-π/2
    0.423403179684117-1.57079632675     		φ = -1.14739315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73354210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.324646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14739315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.740785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101699 KachelY 97609 1.73354210 -1.14739315 99.324646 -65.740785
    Oben rechts KachelX + 1 101700 KachelY 97609 1.73359004 -1.14739315 99.327393 -65.740785
    Unten links KachelX 101699 KachelY + 1 97610 1.73354210 -1.14741284 99.324646 -65.741913
    Unten rechts KachelX + 1 101700 KachelY + 1 97610 1.73359004 -1.14741284 99.327393 -65.741913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14739315--1.14741284) × R
    1.96900000000166e-05 × 6371000     		dl = 125.444990000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14739315--1.14741284) × R
    1.96900000000166e-05 × 6371000     		dr = 125.444990000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73354210-1.73359004) × cos(-1.14739315) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.410865488895338 × 6371000     		do = 125.488895986238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73354210-1.73359004) × cos(-1.14741284) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.410847537521955 × 6371000     		du = 125.483413174739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14739315)-sin(-1.14741284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410865488895338-0.410847537521955)×R²
    abs(1.73359004-1.73354210)×1.79513733834513e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79513733834513e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79513733834513e-05×40589641000000     		ar = 15741.6094069418m²