Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101698 / 97610
↖ ↑ ↗
← S 65.741913°
E 99.321899°		 ← 125.48 m → S 65.741913°
E 99.324646°		 →
↑
125.51 m
↓
↑
125.51 m
↓
S 65.743042°
E 99.321899°		 ← 125.48 m →
15 749 m²		 S 65.743042°
E 99.324646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775897979736328 y=0.744709014892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775897979736328 × 217)
    floor (0.775897979736328 × 131072)
    floor (101698.5)     		tx = 101698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744709014892578 × 217)
    floor (0.744709014892578 × 131072)
    floor (97610.5)     		ty = 97610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101698 / 97610 ti = "17/101698/97610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101698/97610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101698 ÷ 217
    101698 ÷ 131072     		x = 0.775894165039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97610 ÷ 217
    97610 ÷ 131072     		y = 0.744705200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775894165039062 × 2 - 1) × π
    0.551788330078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73349416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744705200195312 × 2 - 1) × π
    -0.489410400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.53752811841368
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73349416} λ = 1.73349416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53752811841368))-π/2
    2×atan(0.214911681619592)-π/2
    2×0.211691742248337-π/2
    0.423383484496674-1.57079632675     		φ = -1.14741284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73349416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.321899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14741284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.741913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101698 KachelY 97610 1.73349416 -1.14741284 99.321899 -65.741913
    Oben rechts KachelX + 1 101699 KachelY 97610 1.73354210 -1.14741284 99.324646 -65.741913
    Unten links KachelX 101698 KachelY + 1 97611 1.73349416 -1.14743254 99.321899 -65.743042
    Unten rechts KachelX + 1 101699 KachelY + 1 97611 1.73354210 -1.14743254 99.324646 -65.743042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14741284--1.14743254) × R
    1.96999999999559e-05 × 6371000     		dl = 125.508699999719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14741284--1.14743254) × R
    1.96999999999559e-05 × 6371000     		dr = 125.508699999719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73349416-1.73354210) × cos(-1.14741284) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.410847537521955 × 6371000     		do = 125.483413174739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73349416-1.73354210) × cos(-1.14743254) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.410829576872166 × 6371000     		du = 125.477927529986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14741284)-sin(-1.14743254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410847537521955-0.410829576872166)×R²
    abs(1.73354210-1.73349416)×1.79606497889839e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79606497889839e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79606497889839e-05×40589641000000     		ar = 15748.9158116534m²