Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101696 / 97600
↖ ↑ ↗
← S 65.730626°
E 99.316406°		 ← 125.54 m → S 65.730626°
E 99.319153°		 →
↑
125.51 m
↓
↑
125.51 m
↓
S 65.731755°
E 99.316406°		 ← 125.53 m →
15 756 m²		 S 65.731755°
E 99.319153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775882720947266 y=0.744632720947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775882720947266 × 217)
    floor (0.775882720947266 × 131072)
    floor (101696.5)     		tx = 101696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744632720947266 × 217)
    floor (0.744632720947266 × 131072)
    floor (97600.5)     		ty = 97600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101696 / 97600 ti = "17/101696/97600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101696/97600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101696 ÷ 217
    101696 ÷ 131072     		x = 0.77587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97600 ÷ 217
    97600 ÷ 131072     		y = 0.74462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77587890625 × 2 - 1) × π
    0.5517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73339829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74462890625 × 2 - 1) × π
    -0.4892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53704874941748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73339829} λ = 1.73339829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53704874941748))-π/2
    2×atan(0.215014728313403)-π/2
    2×0.211790237554783-π/2
    0.423580475109565-1.57079632675     		φ = -1.14721585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73339829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.316406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14721585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.730626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101696 KachelY 97600 1.73339829 -1.14721585 99.316406 -65.730626
    Oben rechts KachelX + 1 101697 KachelY 97600 1.73344623 -1.14721585 99.319153 -65.730626
    Unten links KachelX 101696 KachelY + 1 97601 1.73339829 -1.14723555 99.316406 -65.731755
    Unten rechts KachelX + 1 101697 KachelY + 1 97601 1.73344623 -1.14723555 99.319153 -65.731755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14721585--1.14723555) × R
    1.96999999999559e-05 × 6371000     		dl = 125.508699999719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14721585--1.14723555) × R
    1.96999999999559e-05 × 6371000     		dr = 125.508699999719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73339829-1.73344623) × cos(-1.14721585) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411027126132944 × 6371000     		do = 125.538264159145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73339829-1.73344623) × cos(-1.14723555) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411009167077846 × 6371000     		du = 125.532779001452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14721585)-sin(-1.14723555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411027126132944-0.411009167077846)×R²
    abs(1.73344623-1.73339829)×1.79590550981046e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79590550981046e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79590550981046e-05×40589641000000     		ar = 15755.8001178738m²