Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101691 / 97341
↖ ↑ ↗
← S 65.436576°
E 99.302674°		 ← 126.94 m → S 65.436576°
E 99.305420°		 →
↑
126.97 m
↓
↑
126.97 m
↓
S 65.437718°
E 99.302674°		 ← 126.93 m →
16 118 m²		 S 65.437718°
E 99.305420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775844573974609 y=0.742656707763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775844573974609 × 217)
    floor (0.775844573974609 × 131072)
    floor (101691.5)     		tx = 101691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742656707763672 × 217)
    floor (0.742656707763672 × 131072)
    floor (97341.5)     		ty = 97341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101691 / 97341 ti = "17/101691/97341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101691/97341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101691 ÷ 217
    101691 ÷ 131072     		x = 0.775840759277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97341 ÷ 217
    97341 ÷ 131072     		y = 0.742652893066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775840759277344 × 2 - 1) × π
    0.551681518554688 × 3.1415926535     		Λ = 1.73315861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742652893066406 × 2 - 1) × π
    -0.485305786132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.52463309241589
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73315861} λ = 1.73315861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52463309241589))-π/2
    2×atan(0.217700918331453)-π/2
    2×0.214356306788952-π/2
    0.428712613577905-1.57079632675     		φ = -1.14208371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73315861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.302674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14208371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.436576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101691 KachelY 97341 1.73315861 -1.14208371 99.302674 -65.436576
    Oben rechts KachelX + 1 101692 KachelY 97341 1.73320654 -1.14208371 99.305420 -65.436576
    Unten links KachelX 101691 KachelY + 1 97342 1.73315861 -1.14210364 99.302674 -65.437718
    Unten rechts KachelX + 1 101692 KachelY + 1 97342 1.73320654 -1.14210364 99.305420 -65.437718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14208371--1.14210364) × R
    1.99299999998903e-05 × 6371000     		dl = 126.974029999301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14208371--1.14210364) × R
    1.99299999998903e-05 × 6371000     		dr = 126.974029999301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73315861-1.73320654) × cos(-1.14208371) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.415700270060787 × 6371000     		do = 126.939078337388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73315861-1.73320654) × cos(-1.14210364) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.415682143609971 × 6371000     		du = 126.93354320757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14208371)-sin(-1.14210364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415700270060787-0.415682143609971)×R²
    abs(1.73320654-1.73315861)×1.81264508161139e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.81264508161139e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.81264508161139e-05×40589641000000     		ar = 16117.6149325004m²