Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101688 / 97336
↖ ↑ ↗
← S 65.430867°
E 99.294434°		 ← 126.97 m → S 65.430867°
E 99.297180°		 →
↑
126.97 m
↓
↑
126.97 m
↓
S 65.432009°
E 99.294434°		 ← 126.96 m →
16 121 m²		 S 65.432009°
E 99.297180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775821685791016 y=0.742618560791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775821685791016 × 217)
    floor (0.775821685791016 × 131072)
    floor (101688.5)     		tx = 101688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742618560791016 × 217)
    floor (0.742618560791016 × 131072)
    floor (97336.5)     		ty = 97336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101688 / 97336 ti = "17/101688/97336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101688/97336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101688 ÷ 217
    101688 ÷ 131072     		x = 0.77581787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97336 ÷ 217
    97336 ÷ 131072     		y = 0.74261474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77581787109375 × 2 - 1) × π
    0.5516357421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73301480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74261474609375 × 2 - 1) × π
    -0.4852294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52439340791779
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73301480} λ = 1.73301480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52439340791779))-π/2
    2×atan(0.217753104120611)-π/2
    2×0.214406130674257-π/2
    0.428812261348514-1.57079632675     		φ = -1.14198407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73301480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.294434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14198407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.430867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101688 KachelY 97336 1.73301480 -1.14198407 99.294434 -65.430867
    Oben rechts KachelX + 1 101689 KachelY 97336 1.73306273 -1.14198407 99.297180 -65.430867
    Unten links KachelX 101688 KachelY + 1 97337 1.73301480 -1.14200400 99.294434 -65.432009
    Unten rechts KachelX + 1 101689 KachelY + 1 97337 1.73306273 -1.14200400 99.297180 -65.432009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14198407--1.14200400) × R
    1.99300000001124e-05 × 6371000     		dl = 126.974030000716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14198407--1.14200400) × R
    1.99300000001124e-05 × 6371000     		dr = 126.974030000716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73301480-1.73306273) × cos(-1.14198407) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.415790890743349 × 6371000     		do = 126.966750452975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73301480-1.73306273) × cos(-1.14200400) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.415772765118112 × 6371000     		du = 126.961215575258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14198407)-sin(-1.14200400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415790890743349-0.415772765118112)×R²
    abs(1.73306273-1.73301480)×1.81256252362871e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.81256252362871e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.81256252362871e-05×40589641000000     		ar = 16121.1285886931m²