Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101687 / 97338
↖ ↑ ↗
← S 65.433151°
E 99.291687°		 ← 126.98 m → S 65.433151°
E 99.294434°		 →
↑
126.97 m
↓
↑
126.97 m
↓
S 65.434293°
E 99.291687°		 ← 126.98 m →
16 123 m²		 S 65.434293°
E 99.294434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775814056396484 y=0.742633819580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775814056396484 × 217)
    floor (0.775814056396484 × 131072)
    floor (101687.5)     		tx = 101687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742633819580078 × 217)
    floor (0.742633819580078 × 131072)
    floor (97338.5)     		ty = 97338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101687 / 97338 ti = "17/101687/97338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101687/97338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101687 ÷ 217
    101687 ÷ 131072     		x = 0.775810241699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97338 ÷ 217
    97338 ÷ 131072     		y = 0.742630004882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775810241699219 × 2 - 1) × π
    0.551620483398438 × 3.1415926535     		Λ = 1.73296686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742630004882812 × 2 - 1) × π
    -0.485260009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52448928171703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73296686} λ = 1.73296686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52448928171703))-π/2
    2×atan(0.217732228303961)-π/2
    2×0.214386199816804-π/2
    0.428772399633607-1.57079632675     		φ = -1.14202393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73296686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.291687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14202393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.433151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101687 KachelY 97338 1.73296686 -1.14202393 99.291687 -65.433151
    Oben rechts KachelX + 1 101688 KachelY 97338 1.73301480 -1.14202393 99.294434 -65.433151
    Unten links KachelX 101687 KachelY + 1 97339 1.73296686 -1.14204386 99.291687 -65.434293
    Unten rechts KachelX + 1 101688 KachelY + 1 97339 1.73301480 -1.14204386 99.294434 -65.434293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14202393--1.14204386) × R
    1.99300000001124e-05 × 6371000     		dl = 126.974030000716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14202393--1.14204386) × R
    1.99300000001124e-05 × 6371000     		dr = 126.974030000716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73296686-1.73301480) × cos(-1.14202393) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415754639327729 × 6371000     		do = 126.982168375022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73296686-1.73301480) × cos(-1.14204386) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415736513372206 × 6371000     		du = 126.976632241643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14202393)-sin(-1.14204386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415754639327729-0.415736513372206)×R²
    abs(1.73301480-1.73296686)×1.81259555230295e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81259555230295e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81259555230295e-05×40589641000000     		ar = 16123.0861847709m²