Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101686 / 97560
↖ ↑ ↗
← S 65.685430°
E 99.288940°		 ← 125.76 m → S 65.685430°
E 99.291687°		 →
↑
125.76 m
↓
↑
125.76 m
↓
S 65.686561°
E 99.288940°		 ← 125.75 m →
15 815 m²		 S 65.686561°
E 99.291687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775806427001953 y=0.744327545166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775806427001953 × 217)
    floor (0.775806427001953 × 131072)
    floor (101686.5)     		tx = 101686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744327545166016 × 217)
    floor (0.744327545166016 × 131072)
    floor (97560.5)     		ty = 97560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101686 / 97560 ti = "17/101686/97560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101686/97560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101686 ÷ 217
    101686 ÷ 131072     		x = 0.775802612304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97560 ÷ 217
    97560 ÷ 131072     		y = 0.74432373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775802612304688 × 2 - 1) × π
    0.551605224609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73291892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.4886474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53513127343268
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73291892} λ = 1.73291892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53513127343268))-π/2
    2×atan(0.215427409417934)-π/2
    2×0.212184649452804-π/2
    0.424369298905607-1.57079632675     		φ = -1.14642703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73291892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.288940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14642703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.685430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101686 KachelY 97560 1.73291892 -1.14642703 99.288940 -65.685430
    Oben rechts KachelX + 1 101687 KachelY 97560 1.73296686 -1.14642703 99.291687 -65.685430
    Unten links KachelX 101686 KachelY + 1 97561 1.73291892 -1.14644677 99.288940 -65.686561
    Unten rechts KachelX + 1 101687 KachelY + 1 97561 1.73296686 -1.14644677 99.291687 -65.686561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14642703--1.14644677) × R
    1.97400000001569e-05 × 6371000     		dl = 125.763540000999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14642703--1.14644677) × R
    1.97400000001569e-05 × 6371000     		dr = 125.763540000999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73291892-1.73296686) × cos(-1.14642703) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.411746104724847 × 6371000     		do = 125.757858728204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73291892-1.73296686) × cos(-1.14644677) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.411728115610188 × 6371000     		du = 125.752364389547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14642703)-sin(-1.14644677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411746104724847-0.411728115610188)×R²
    abs(1.73296686-1.73291892)×1.79891146596112e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.79891146596112e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.79891146596112e-05×40589641000000     		ar = 15815.4080033612m²