Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101680 / 98032
↖ ↑ ↗
← S 66.213739°
E 99.272461°		 ← 123.19 m → S 66.213739°
E 99.275208°		 →
↑
123.22 m
↓
↑
123.22 m
↓
S 66.214847°
E 99.272461°		 ← 123.18 m →
15 178 m²		 S 66.214847°
E 99.275208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775760650634766 y=0.747928619384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775760650634766 × 217)
    floor (0.775760650634766 × 131072)
    floor (101680.5)     		tx = 101680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747928619384766 × 217)
    floor (0.747928619384766 × 131072)
    floor (98032.5)     		ty = 98032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101680 / 98032 ti = "17/101680/98032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101680/98032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101680 ÷ 217
    101680 ÷ 131072     		x = 0.7757568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98032 ÷ 217
    98032 ÷ 131072     		y = 0.7479248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7757568359375 × 2 - 1) × π
    0.551513671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73263130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7479248046875 × 2 - 1) × π
    -0.495849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55775749005334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73263130} λ = 1.73263130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55775749005334))-π/2
    2×atan(0.210607832197246)-π/2
    2×0.207574281977835-π/2
    0.415148563955671-1.57079632675     		φ = -1.15564776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73263130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.272461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15564776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.213739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101680 KachelY 98032 1.73263130 -1.15564776 99.272461 -66.213739
    Oben rechts KachelX + 1 101681 KachelY 98032 1.73267924 -1.15564776 99.275208 -66.213739
    Unten links KachelX 101680 KachelY + 1 98033 1.73263130 -1.15566710 99.272461 -66.214847
    Unten rechts KachelX + 1 101681 KachelY + 1 98033 1.73267924 -1.15566710 99.275208 -66.214847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15564776--1.15566710) × R
    1.93400000001454e-05 × 6371000     		dl = 123.215140000926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15564776--1.15566710) × R
    1.93400000001454e-05 × 6371000     		dr = 123.215140000926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73263130-1.73267924) × cos(-1.15564776) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403325881834197 × 6371000     		do = 123.186105920282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73263130-1.73267924) × cos(-1.15566710) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403308184567804 × 6371000     		du = 123.180700719597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15564776)-sin(-1.15566710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403325881834197-0.403308184567804)×R²
    abs(1.73267924-1.73263130)×1.76972663928909e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76972663928909e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76972663928909e-05×40589641000000     		ar = 15178.0602863753m²