Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101678 / 97038
↖ ↑ ↗
← S 65.088332°
E 99.266968°		 ← 128.62 m → S 65.088332°
E 99.269714°		 →
↑
128.63 m
↓
↑
128.63 m
↓
S 65.089489°
E 99.266968°		 ← 128.62 m →
16 545 m²		 S 65.089489°
E 99.269714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775745391845703 y=0.740345001220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775745391845703 × 217)
    floor (0.775745391845703 × 131072)
    floor (101678.5)     		tx = 101678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740345001220703 × 217)
    floor (0.740345001220703 × 131072)
    floor (97038.5)     		ty = 97038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101678 / 97038 ti = "17/101678/97038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101678/97038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101678 ÷ 217
    101678 ÷ 131072     		x = 0.775741577148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97038 ÷ 217
    97038 ÷ 131072     		y = 0.740341186523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775741577148438 × 2 - 1) × π
    0.551483154296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73253543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740341186523438 × 2 - 1) × π
    -0.480682373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51010821183101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73253543} λ = 1.73253543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51010821183101))-π/2
    2×atan(0.220886074179534)-π/2
    2×0.217395315702296-π/2
    0.434790631404592-1.57079632675     		φ = -1.13600570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73253543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.266968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13600570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.088332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101678 KachelY 97038 1.73253543 -1.13600570 99.266968 -65.088332
    Oben rechts KachelX + 1 101679 KachelY 97038 1.73258336 -1.13600570 99.269714 -65.088332
    Unten links KachelX 101678 KachelY + 1 97039 1.73253543 -1.13602589 99.266968 -65.089489
    Unten rechts KachelX + 1 101679 KachelY + 1 97039 1.73258336 -1.13602589 99.269714 -65.089489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13600570--1.13602589) × R
    2.01900000000865e-05 × 6371000     		dl = 128.630490000551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13600570--1.13602589) × R
    2.01900000000865e-05 × 6371000     		dr = 128.630490000551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73253543-1.73258336) × cos(-1.13600570) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.421220517843954 × 6371000     		do = 128.62475240656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73253543-1.73258336) × cos(-1.13602589) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.421202206270945 × 6371000     		du = 128.619160747453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13600570)-sin(-1.13602589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421220517843954-0.421202206270945)×R²
    abs(1.73258336-1.73253543)×1.83115730089112e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.83115730089112e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.83115730089112e-05×40589641000000     		ar = 16544.7052999363m²