Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10167 / 2456
↖ ↑ ↗
← N 77.351069°
E 43.395996°		 ← 535.02 m → N 77.351069°
E 43.417969°		 →
↑
535.10 m
↓
↑
535.10 m
↓
N 77.346257°
E 43.395996°		 ← 535.22 m →
286 343 m²		 N 77.346257°
E 43.417969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620574951171875 y=0.149932861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620574951171875 × 214)
    floor (0.620574951171875 × 16384)
    floor (10167.5)     		tx = 10167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149932861328125 × 214)
    floor (0.149932861328125 × 16384)
    floor (2456.5)     		ty = 2456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10167 / 2456 ti = "14/10167/2456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10167/2456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10167 ÷ 214
    10167 ÷ 16384     		x = 0.62054443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2456 ÷ 214
    2456 ÷ 16384     		y = 0.14990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62054443359375 × 2 - 1) × π
    0.2410888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.75740301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14990234375 × 2 - 1) × π
    0.7001953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19972844976514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75740301} λ = 0.75740301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19972844976514))-π/2
    2×atan(9.02256308761871)-π/2
    2×1.46041358548725-π/2
    2.92082717097451-1.57079632675     		φ = 1.35003084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75740301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.395996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35003084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.351069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10167 KachelY 2456 0.75740301 1.35003084 43.395996 77.351069
    Oben rechts KachelX + 1 10168 KachelY 2456 0.75778651 1.35003084 43.417969 77.351069
    Unten links KachelX 10167 KachelY + 1 2457 0.75740301 1.34994685 43.395996 77.346257
    Unten rechts KachelX + 1 10168 KachelY + 1 2457 0.75778651 1.34994685 43.417969 77.346257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35003084-1.34994685) × R
    8.39900000000338e-05 × 6371000     		dl = 535.100290000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35003084-1.34994685) × R
    8.39900000000338e-05 × 6371000     		dr = 535.100290000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75740301-0.75778651) × cos(1.35003084) × R
    0.000383499999999981 × 0.218976595680542 × 6371000     		do = 535.020808229434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75740301-0.75778651) × cos(1.34994685) × R
    0.000383499999999981 × 0.219058546480147 × 6371000     		du = 535.221036856168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35003084)-sin(1.34994685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218976595680542-0.219058546480147)×R²
    abs(0.75778651-0.75740301)×8.19507996054902e-05×R²
    0.000383499999999981×8.19507996054902e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.19507996054902e-05×40589641000000     		ar = 286343.361005674m²