Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101668 / 97332
↖ ↑ ↗
← S 65.426299°
E 99.239502°		 ← 126.99 m → S 65.426299°
E 99.242248°		 →
↑
127.04 m
↓
↑
127.04 m
↓
S 65.427441°
E 99.239502°		 ← 126.98 m →
16 132 m²		 S 65.427441°
E 99.242248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775669097900391 y=0.742588043212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775669097900391 × 217)
    floor (0.775669097900391 × 131072)
    floor (101668.5)     		tx = 101668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742588043212891 × 217)
    floor (0.742588043212891 × 131072)
    floor (97332.5)     		ty = 97332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101668 / 97332 ti = "17/101668/97332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101668/97332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101668 ÷ 217
    101668 ÷ 131072     		x = 0.775665283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97332 ÷ 217
    97332 ÷ 131072     		y = 0.742584228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775665283203125 × 2 - 1) × π
    0.55133056640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73205606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742584228515625 × 2 - 1) × π
    -0.48516845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52420166031931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73205606} λ = 1.73205606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52420166031931))-π/2
    2×atan(0.217794861758724)-π/2
    2×0.214445997603029-π/2
    0.428891995206059-1.57079632675     		φ = -1.14190433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73205606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.239502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14190433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.426299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101668 KachelY 97332 1.73205606 -1.14190433 99.239502 -65.426299
    Oben rechts KachelX + 1 101669 KachelY 97332 1.73210399 -1.14190433 99.242248 -65.426299
    Unten links KachelX 101668 KachelY + 1 97333 1.73205606 -1.14192427 99.239502 -65.427441
    Unten rechts KachelX + 1 101669 KachelY + 1 97333 1.73210399 -1.14192427 99.242248 -65.427441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14190433--1.14192427) × R
    1.99400000000516e-05 × 6371000     		dl = 127.037740000329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14190433--1.14192427) × R
    1.99400000000516e-05 × 6371000     		dr = 127.037740000329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73205606-1.73210399) × cos(-1.14190433) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.415863409781221 × 6371000     		do = 126.988895013593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73205606-1.73210399) × cos(-1.14192427) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.415845275722457 × 6371000     		du = 126.983357560597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14190433)-sin(-1.14192427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415863409781221-0.415845275722457)×R²
    abs(1.73210399-1.73205606)×1.81340587642742e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.81340587642742e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.81340587642742e-05×40589641000000     		ar = 16132.030495356m²