Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101668 / 96520
↖ ↑ ↗
← S 64.482261°
E 99.239502°		 ← 131.55 m → S 64.482261°
E 99.242248°		 →
↑
131.62 m
↓
↑
131.62 m
↓
S 64.483445°
E 99.239502°		 ← 131.54 m →
17 314 m²		 S 64.483445°
E 99.242248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775669097900391 y=0.736392974853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775669097900391 × 217)
    floor (0.775669097900391 × 131072)
    floor (101668.5)     		tx = 101668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736392974853516 × 217)
    floor (0.736392974853516 × 131072)
    floor (96520.5)     		ty = 96520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101668 / 96520 ti = "17/101668/96520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101668/96520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101668 ÷ 217
    101668 ÷ 131072     		x = 0.775665283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96520 ÷ 217
    96520 ÷ 131072     		y = 0.73638916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775665283203125 × 2 - 1) × π
    0.55133056640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73205606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73638916015625 × 2 - 1) × π
    -0.4727783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.48527689782782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73205606} λ = 1.73205606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48527689782782))-π/2
    2×atan(0.226439631352778)-π/2
    2×0.222684281004025-π/2
    0.445368562008051-1.57079632675     		φ = -1.12542776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73205606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.239502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12542776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.482261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101668 KachelY 96520 1.73205606 -1.12542776 99.239502 -64.482261
    Oben rechts KachelX + 1 101669 KachelY 96520 1.73210399 -1.12542776 99.242248 -64.482261
    Unten links KachelX 101668 KachelY + 1 96521 1.73205606 -1.12544842 99.239502 -64.483445
    Unten rechts KachelX + 1 101669 KachelY + 1 96521 1.73210399 -1.12544842 99.242248 -64.483445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12542776--1.12544842) × R
    2.06599999998947e-05 × 6371000     		dl = 131.624859999329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12542776--1.12544842) × R
    2.06599999998947e-05 × 6371000     		dr = 131.624859999329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73205606-1.73210399) × cos(-1.12542776) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.430790523376344 × 6371000     		do = 131.547068723043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73205606-1.73210399) × cos(-1.12544842) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.430771878627086 × 6371000     		du = 131.541375324561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12542776)-sin(-1.12544842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430790523376344-0.430771878627086)×R²
    abs(1.73210399-1.73205606)×1.86447492572239e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.86447492572239e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.86447492572239e-05×40589641000000     		ar = 17314.4898081865m²