Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101666 / 97331
↖ ↑ ↗
← S 65.425157°
E 99.234009°		 ← 127.02 m → S 65.425157°
E 99.236755°		 →
↑
126.97 m
↓
↑
126.97 m
↓
S 65.426299°
E 99.234009°		 ← 127.02 m →
16 128 m²		 S 65.426299°
E 99.236755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775653839111328 y=0.742580413818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775653839111328 × 217)
    floor (0.775653839111328 × 131072)
    floor (101666.5)     		tx = 101666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742580413818359 × 217)
    floor (0.742580413818359 × 131072)
    floor (97331.5)     		ty = 97331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101666 / 97331 ti = "17/101666/97331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101666/97331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101666 ÷ 217
    101666 ÷ 131072     		x = 0.775650024414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97331 ÷ 217
    97331 ÷ 131072     		y = 0.742576599121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775650024414062 × 2 - 1) × π
    0.551300048828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73196018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742576599121094 × 2 - 1) × π
    -0.485153198242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.52415372341969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73196018} λ = 1.73196018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52415372341969))-π/2
    2×atan(0.217805302419394)-π/2
    2×0.214455965421532-π/2
    0.428911930843063-1.57079632675     		φ = -1.14188440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73196018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.234009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14188440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.425157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101666 KachelY 97331 1.73196018 -1.14188440 99.234009 -65.425157
    Oben rechts KachelX + 1 101667 KachelY 97331 1.73200812 -1.14188440 99.236755 -65.425157
    Unten links KachelX 101666 KachelY + 1 97332 1.73196018 -1.14190433 99.234009 -65.426299
    Unten rechts KachelX + 1 101667 KachelY + 1 97332 1.73200812 -1.14190433 99.236755 -65.426299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14188440--1.14190433) × R
    1.99300000001124e-05 × 6371000     		dl = 126.974030000716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14188440--1.14190433) × R
    1.99300000001124e-05 × 6371000     		dr = 126.974030000716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73196018-1.73200812) × cos(-1.14188440) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415881534580449 × 6371000     		do = 127.020925451486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73196018-1.73200812) × cos(-1.14190433) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415863409781221 × 6371000     		du = 127.015389671269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14188440)-sin(-1.14190433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415881534580449-0.415863409781221)×R²
    abs(1.73200812-1.73196018)×1.81247992276368e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81247992276368e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81247992276368e-05×40589641000000     		ar = 16128.0073493079m²