Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 10166 / 8052
↖ ↑ ↗
← N 67.118748°
W 68.312988°		 ← 475 m → N 67.118748°
W 68.302002°		 →
↑
475.02 m
↓
↑
475.02 m
↓
N 67.114476°
W 68.312988°		 ← 475.08 m →
225 656 m²		 N 67.114476°
W 68.302002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.310256958007812 y=0.245742797851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.310256958007812 × 215)
    floor (0.310256958007812 × 32768)
    floor (10166.5)     		tx = 10166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245742797851562 × 215)
    floor (0.245742797851562 × 32768)
    floor (8052.5)     		ty = 8052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 10166 / 8052 ti = "15/10166/8052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/10166/8052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10166 ÷ 215
    10166 ÷ 32768     		x = 0.31024169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8052 ÷ 215
    8052 ÷ 32768     		y = 0.2457275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.31024169921875 × 2 - 1) × π
    -0.3795166015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.19228657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2457275390625 × 2 - 1) × π
    0.508544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.59764099053723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.19228657} λ = -1.19228657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59764099053723))-π/2
    2×atan(4.94136194483454)-π/2
    2×1.37111973891801-π/2
    2.74223947783602-1.57079632675     		φ = 1.17144315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.19228657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -68.312988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17144315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.118748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10166 KachelY 8052 -1.19228657 1.17144315 -68.312988 67.118748
    Oben rechts KachelX + 1 10167 KachelY 8052 -1.19209482 1.17144315 -68.302002 67.118748
    Unten links KachelX 10166 KachelY + 1 8053 -1.19228657 1.17136859 -68.312988 67.114476
    Unten rechts KachelX + 1 10167 KachelY + 1 8053 -1.19209482 1.17136859 -68.302002 67.114476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17144315-1.17136859) × R
    7.45600000000568e-05 × 6371000     		dl = 475.021760000362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17144315-1.17136859) × R
    7.45600000000568e-05 × 6371000     		dr = 475.021760000362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.19228657--1.19209482) × cos(1.17144315) × R
    0.000191749999999935 × 0.388822497263486 × 6371000     		do = 475.000823939931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.19228657--1.19209482) × cos(1.17136859) × R
    0.000191749999999935 × 0.38889118925653 × 6371000     		du = 475.084740774795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17144315)-sin(1.17136859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388822497263486-0.38889118925653)×R²
    abs(-1.19209482--1.19228657)×6.86919930443786e-05×R²
    0.000191749999999935×6.86919930443786e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.86919930443786e-05×40589641000000     		ar = 225655.658655542m²