Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101653 / 98592
↖ ↑ ↗
← S 66.826520°
E 99.198303°		 ← 120.19 m → S 66.826520°
E 99.201050°		 →
↑
120.16 m
↓
↑
120.16 m
↓
S 66.827601°
E 99.198303°		 ← 120.18 m →
14 441 m²		 S 66.827601°
E 99.201050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775554656982422 y=0.752201080322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775554656982422 × 217)
    floor (0.775554656982422 × 131072)
    floor (101653.5)     		tx = 101653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752201080322266 × 217)
    floor (0.752201080322266 × 131072)
    floor (98592.5)     		ty = 98592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101653 / 98592 ti = "17/101653/98592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101653/98592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101653 ÷ 217
    101653 ÷ 131072     		x = 0.775550842285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98592 ÷ 217
    98592 ÷ 131072     		y = 0.752197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775550842285156 × 2 - 1) × π
    0.551101684570312 × 3.1415926535     		Λ = 1.73133700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752197265625 × 2 - 1) × π
    -0.50439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58460215384058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73133700} λ = 1.73133700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58460215384058))-π/2
    2×atan(0.205029347031051)-π/2
    2×0.202226760181831-π/2
    0.404453520363663-1.57079632675     		φ = -1.16634281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73133700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.198303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16634281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.826520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101653 KachelY 98592 1.73133700 -1.16634281 99.198303 -66.826520
    Oben rechts KachelX + 1 101654 KachelY 98592 1.73138494 -1.16634281 99.201050 -66.826520
    Unten links KachelX 101653 KachelY + 1 98593 1.73133700 -1.16636167 99.198303 -66.827601
    Unten rechts KachelX + 1 101654 KachelY + 1 98593 1.73138494 -1.16636167 99.201050 -66.827601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16634281--1.16636167) × R
    1.88599999999539e-05 × 6371000     		dl = 120.157059999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16634281--1.16636167) × R
    1.88599999999539e-05 × 6371000     		dr = 120.157059999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73133700-1.73138494) × cos(-1.16634281) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.393516427536312 × 6371000     		do = 120.190046082912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73133700-1.73138494) × cos(-1.16636167) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.393499089136682 × 6371000     		du = 120.184750489375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16634281)-sin(-1.16636167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393516427536312-0.393499089136682)×R²
    abs(1.73138494-1.73133700)×1.73383996303622e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.73383996303622e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.73383996303622e-05×40589641000000     		ar = 14441.3644274198m²