Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101651 / 96533
↖ ↑ ↗
← S 64.497638°
E 99.192810°		 ← 131.50 m → S 64.497638°
E 99.195557°		 →
↑
131.50 m
↓
↑
131.50 m
↓
S 64.498821°
E 99.192810°		 ← 131.49 m →
17 292 m²		 S 64.498821°
E 99.195557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775539398193359 y=0.736492156982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775539398193359 × 217)
    floor (0.775539398193359 × 131072)
    floor (101651.5)     		tx = 101651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736492156982422 × 217)
    floor (0.736492156982422 × 131072)
    floor (96533.5)     		ty = 96533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101651 / 96533 ti = "17/101651/96533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101651/96533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101651 ÷ 217
    101651 ÷ 131072     		x = 0.775535583496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96533 ÷ 217
    96533 ÷ 131072     		y = 0.736488342285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775535583496094 × 2 - 1) × π
    0.551071166992188 × 3.1415926535     		Λ = 1.73124113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736488342285156 × 2 - 1) × π
    -0.472976684570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.48590007752288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73124113} λ = 1.73124113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48590007752288))-π/2
    2×atan(0.226298562732477)-π/2
    2×0.222550088791185-π/2
    0.44510017758237-1.57079632675     		φ = -1.12569615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73124113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.192810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12569615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.497638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101651 KachelY 96533 1.73124113 -1.12569615 99.192810 -64.497638
    Oben rechts KachelX + 1 101652 KachelY 96533 1.73128907 -1.12569615 99.195557 -64.497638
    Unten links KachelX 101651 KachelY + 1 96534 1.73124113 -1.12571679 99.192810 -64.498821
    Unten rechts KachelX + 1 101652 KachelY + 1 96534 1.73128907 -1.12571679 99.195557 -64.498821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12569615--1.12571679) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dl = 131.497440000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12569615--1.12571679) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dr = 131.497440000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73124113-1.73128907) × cos(-1.12569615) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.43054829878435 × 6371000     		do = 131.500532762474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73124113-1.73128907) × cos(-1.12571679) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.430529669698638 × 6371000     		du = 131.494842960185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12569615)-sin(-1.12571679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43054829878435-0.430529669698638)×R²
    abs(1.73128907-1.73124113)×1.86290857120408e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.86290857120408e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.86290857120408e-05×40589641000000     		ar = 17291.6093202334m²