Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101650 / 98578
↖ ↑ ↗
← S 66.811384°
E 99.190063°		 ← 120.26 m → S 66.811384°
E 99.192810°		 →
↑
120.22 m
↓
↑
120.22 m
↓
S 66.812465°
E 99.190063°		 ← 120.26 m →
14 458 m²		 S 66.812465°
E 99.192810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775531768798828 y=0.752094268798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775531768798828 × 217)
    floor (0.775531768798828 × 131072)
    floor (101650.5)     		tx = 101650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752094268798828 × 217)
    floor (0.752094268798828 × 131072)
    floor (98578.5)     		ty = 98578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101650 / 98578 ti = "17/101650/98578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101650/98578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101650 ÷ 217
    101650 ÷ 131072     		x = 0.775527954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98578 ÷ 217
    98578 ÷ 131072     		y = 0.752090454101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775527954101562 × 2 - 1) × π
    0.551055908203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73119319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752090454101562 × 2 - 1) × π
    -0.504180908203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5839310372459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73119319} λ = 1.73119319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5839310372459))-π/2
    2×atan(0.205166991810922)-π/2
    2×0.202358848626863-π/2
    0.404717697253726-1.57079632675     		φ = -1.16607863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73119319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.190063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16607863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.811384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101650 KachelY 98578 1.73119319 -1.16607863 99.190063 -66.811384
    Oben rechts KachelX + 1 101651 KachelY 98578 1.73124113 -1.16607863 99.192810 -66.811384
    Unten links KachelX 101650 KachelY + 1 98579 1.73119319 -1.16609750 99.190063 -66.812465
    Unten rechts KachelX + 1 101651 KachelY + 1 98579 1.73124113 -1.16609750 99.192810 -66.812465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16607863--1.16609750) × R
    1.88700000001152e-05 × 6371000     		dl = 120.220770000734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16607863--1.16609750) × R
    1.88700000001152e-05 × 6371000     		dr = 120.220770000734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73119319-1.73124113) × cos(-1.16607863) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393759279121007 × 6371000     		do = 120.264219207321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73119319-1.73124113) × cos(-1.16609750) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393741933490398 × 6371000     		du = 120.258921405257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16607863)-sin(-1.16609750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393759279121007-0.393741933490398)×R²
    abs(1.73124113-1.73119319)×1.73456306089559e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73456306089559e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73456306089559e-05×40589641000000     		ar = 14457.9385840756m²