Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101649 / 98577
↖ ↑ ↗
← S 66.810302°
E 99.187317°		 ← 120.24 m → S 66.810302°
E 99.190063°		 →
↑
120.28 m
↓
↑
120.28 m
↓
S 66.811384°
E 99.187317°		 ← 120.24 m →
14 463 m²		 S 66.811384°
E 99.190063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775524139404297 y=0.752086639404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775524139404297 × 217)
    floor (0.775524139404297 × 131072)
    floor (101649.5)     		tx = 101649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752086639404297 × 217)
    floor (0.752086639404297 × 131072)
    floor (98577.5)     		ty = 98577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101649 / 98577 ti = "17/101649/98577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101649/98577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101649 ÷ 217
    101649 ÷ 131072     		x = 0.775520324707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98577 ÷ 217
    98577 ÷ 131072     		y = 0.752082824707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775520324707031 × 2 - 1) × π
    0.551040649414062 × 3.1415926535     		Λ = 1.73114526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752082824707031 × 2 - 1) × π
    -0.504165649414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.58388310034628
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73114526} λ = 1.73114526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58388310034628))-π/2
    2×atan(0.205176827116149)-π/2
    2×0.202368286634329-π/2
    0.404736573268659-1.57079632675     		φ = -1.16605975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73114526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.187317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16605975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.810302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101649 KachelY 98577 1.73114526 -1.16605975 99.187317 -66.810302
    Oben rechts KachelX + 1 101650 KachelY 98577 1.73119319 -1.16605975 99.190063 -66.810302
    Unten links KachelX 101649 KachelY + 1 98578 1.73114526 -1.16607863 99.187317 -66.811384
    Unten rechts KachelX + 1 101650 KachelY + 1 98578 1.73119319 -1.16607863 99.190063 -66.811384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16605975--1.16607863) × R
    1.88799999998324e-05 × 6371000     		dl = 120.284479998932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16605975--1.16607863) × R
    1.88799999998324e-05 × 6371000     		dr = 120.284479998932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73114526-1.73119319) × cos(-1.16605975) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.393776633803468 × 6371000     		do = 120.244432264867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73114526-1.73119319) × cos(-1.16607863) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.393759279121007 × 6371000     		du = 120.239132803801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16605975)-sin(-1.16607863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393776633803468-0.393759279121007)×R²
    abs(1.73119319-1.73114526)×1.73546824616677e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.73546824616677e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.73546824616677e-05×40589641000000     		ar = 14463.2202867427m²