Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101648 / 97553
↖ ↑ ↗
← S 65.677513°
E 99.184570°		 ← 125.80 m → S 65.677513°
E 99.187317°		 →
↑
125.83 m
↓
↑
125.83 m
↓
S 65.678644°
E 99.184570°		 ← 125.79 m →
15 828 m²		 S 65.678644°
E 99.187317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775516510009766 y=0.744274139404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775516510009766 × 217)
    floor (0.775516510009766 × 131072)
    floor (101648.5)     		tx = 101648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744274139404297 × 217)
    floor (0.744274139404297 × 131072)
    floor (97553.5)     		ty = 97553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101648 / 97553 ti = "17/101648/97553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101648/97553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101648 ÷ 217
    101648 ÷ 131072     		x = 0.7755126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97553 ÷ 217
    97553 ÷ 131072     		y = 0.744270324707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7755126953125 × 2 - 1) × π
    0.551025390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73109732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744270324707031 × 2 - 1) × π
    -0.488540649414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.53479571513534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73109732} λ = 1.73109732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53479571513534))-π/2
    2×atan(0.215499710002491)-π/2
    2×0.212253742427389-π/2
    0.424507484854778-1.57079632675     		φ = -1.14628884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73109732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.184570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14628884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.677513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101648 KachelY 97553 1.73109732 -1.14628884 99.184570 -65.677513
    Oben rechts KachelX + 1 101649 KachelY 97553 1.73114526 -1.14628884 99.187317 -65.677513
    Unten links KachelX 101648 KachelY + 1 97554 1.73109732 -1.14630859 99.184570 -65.678644
    Unten rechts KachelX + 1 101649 KachelY + 1 97554 1.73114526 -1.14630859 99.187317 -65.678644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14628884--1.14630859) × R
    1.97500000000961e-05 × 6371000     		dl = 125.827250000612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14628884--1.14630859) × R
    1.97500000000961e-05 × 6371000     		dr = 125.827250000612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73109732-1.73114526) × cos(-1.14628884) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411872033147052 × 6371000     		do = 125.796320509161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73109732-1.73114526) × cos(-1.14630859) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411854036043232 × 6371000     		du = 125.790823730408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14628884)-sin(-1.14630859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411872033147052-0.411854036043232)×R²
    abs(1.73114526-1.73109732)×1.79971038204441e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79971038204441e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79971038204441e-05×40589641000000     		ar = 15828.259248233m²