Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101643 / 98606
↖ ↑ ↗
← S 66.841647°
E 99.170837°		 ← 120.12 m → S 66.841647°
E 99.173584°		 →
↑
120.09 m
↓
↑
120.09 m
↓
S 66.842727°
E 99.170837°		 ← 120.11 m →
14 425 m²		 S 66.842727°
E 99.173584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775478363037109 y=0.752307891845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775478363037109 × 217)
    floor (0.775478363037109 × 131072)
    floor (101643.5)     		tx = 101643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752307891845703 × 217)
    floor (0.752307891845703 × 131072)
    floor (98606.5)     		ty = 98606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101643 / 98606 ti = "17/101643/98606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101643/98606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101643 ÷ 217
    101643 ÷ 131072     		x = 0.775474548339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98606 ÷ 217
    98606 ÷ 131072     		y = 0.752304077148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775474548339844 × 2 - 1) × π
    0.550949096679688 × 3.1415926535     		Λ = 1.73085763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752304077148438 × 2 - 1) × π
    -0.504608154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58527327043526
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73085763} λ = 1.73085763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58527327043526))-π/2
    2×atan(0.204891794595886)-π/2
    2×0.202094753206177-π/2
    0.404189506412355-1.57079632675     		φ = -1.16660682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73085763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.170837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16660682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.841647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101643 KachelY 98606 1.73085763 -1.16660682 99.170837 -66.841647
    Oben rechts KachelX + 1 101644 KachelY 98606 1.73090557 -1.16660682 99.173584 -66.841647
    Unten links KachelX 101643 KachelY + 1 98607 1.73085763 -1.16662567 99.170837 -66.842727
    Unten rechts KachelX + 1 101644 KachelY + 1 98607 1.73090557 -1.16662567 99.173584 -66.842727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16660682--1.16662567) × R
    1.88500000000147e-05 × 6371000     		dl = 120.093350000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16660682--1.16662567) × R
    1.88500000000147e-05 × 6371000     		dr = 120.093350000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73085763-1.73090557) × cos(-1.16660682) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393273704789336 × 6371000     		do = 120.115912307746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73085763-1.73090557) × cos(-1.16662567) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393256373625234 × 6371000     		du = 120.110618924125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16660682)-sin(-1.16662567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393273704789336-0.393256373625234)×R²
    abs(1.73090557-1.73085763)×1.73311641025742e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73311641025742e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73311641025742e-05×40589641000000     		ar = 14424.80444769m²