Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101642 / 96514
↖ ↑ ↗
← S 64.475161°
E 99.168091°		 ← 131.58 m → S 64.475161°
E 99.170837°		 →
↑
131.62 m
↓
↑
131.62 m
↓
S 64.476344°
E 99.168091°		 ← 131.58 m →
17 319 m²		 S 64.476344°
E 99.170837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775470733642578 y=0.736347198486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775470733642578 × 217)
    floor (0.775470733642578 × 131072)
    floor (101642.5)     		tx = 101642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736347198486328 × 217)
    floor (0.736347198486328 × 131072)
    floor (96514.5)     		ty = 96514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101642 / 96514 ti = "17/101642/96514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101642/96514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101642 ÷ 217
    101642 ÷ 131072     		x = 0.775466918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96514 ÷ 217
    96514 ÷ 131072     		y = 0.736343383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775466918945312 × 2 - 1) × π
    0.550933837890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73080970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736343383789062 × 2 - 1) × π
    -0.472686767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4849892764301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73080970} λ = 1.73080970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4849892764301))-π/2
    2×atan(0.226504769603175)-π/2
    2×0.222746241330477-π/2
    0.445492482660954-1.57079632675     		φ = -1.12530384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73080970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.168091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12530384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.475161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101642 KachelY 96514 1.73080970 -1.12530384 99.168091 -64.475161
    Oben rechts KachelX + 1 101643 KachelY 96514 1.73085763 -1.12530384 99.170837 -64.475161
    Unten links KachelX 101642 KachelY + 1 96515 1.73080970 -1.12532450 99.168091 -64.476344
    Unten rechts KachelX + 1 101643 KachelY + 1 96515 1.73085763 -1.12532450 99.170837 -64.476344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12530384--1.12532450) × R
    2.06600000001167e-05 × 6371000     		dl = 131.624860000743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12530384--1.12532450) × R
    2.06600000001167e-05 × 6371000     		dr = 131.624860000743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73080970-1.73085763) × cos(-1.12530384) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.430902351914256 × 6371000     		do = 131.581216912392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73080970-1.73085763) × cos(-1.12532450) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.430883708268022 × 6371000     		du = 131.575523850732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12530384)-sin(-1.12532450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430902351914256-0.430883708268022)×R²
    abs(1.73085763-1.73080970)×1.86436462337736e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.86436462337736e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.86436462337736e-05×40589641000000     		ar = 17318.9845812191m²