Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101639 / 98601
↖ ↑ ↗
← S 66.836246°
E 99.159851°		 ← 120.12 m → S 66.836246°
E 99.162597°		 →
↑
120.09 m
↓
↑
120.09 m
↓
S 66.837326°
E 99.159851°		 ← 120.11 m →
14 425 m²		 S 66.837326°
E 99.162597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775447845458984 y=0.752269744873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775447845458984 × 217)
    floor (0.775447845458984 × 131072)
    floor (101639.5)     		tx = 101639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752269744873047 × 217)
    floor (0.752269744873047 × 131072)
    floor (98601.5)     		ty = 98601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101639 / 98601 ti = "17/101639/98601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101639/98601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101639 ÷ 217
    101639 ÷ 131072     		x = 0.775444030761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98601 ÷ 217
    98601 ÷ 131072     		y = 0.752265930175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775444030761719 × 2 - 1) × π
    0.550888061523438 × 3.1415926535     		Λ = 1.73066589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752265930175781 × 2 - 1) × π
    -0.504531860351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.58503358593716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73066589} λ = 1.73066589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58503358593716))-π/2
    2×atan(0.204940909868688)-π/2
    2×0.202141889204854-π/2
    0.404283778409708-1.57079632675     		φ = -1.16651255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73066589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.159851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16651255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.836246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101639 KachelY 98601 1.73066589 -1.16651255 99.159851 -66.836246
    Oben rechts KachelX + 1 101640 KachelY 98601 1.73071382 -1.16651255 99.162597 -66.836246
    Unten links KachelX 101639 KachelY + 1 98602 1.73066589 -1.16653140 99.159851 -66.837326
    Unten rechts KachelX + 1 101640 KachelY + 1 98602 1.73071382 -1.16653140 99.162597 -66.837326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16651255--1.16653140) × R
    1.88500000000147e-05 × 6371000     		dl = 120.093350000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16651255--1.16653140) × R
    1.88500000000147e-05 × 6371000     		dr = 120.093350000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73066589-1.73071382) × cos(-1.16651255) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.393360376901328 × 6371000     		do = 120.117323212228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73066589-1.73071382) × cos(-1.16653140) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.393343046436131 × 6371000     		du = 120.112031146195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16651255)-sin(-1.16653140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393360376901328-0.393343046436131)×R²
    abs(1.73071382-1.73066589)×1.73304651977513e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.73304651977513e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.73304651977513e-05×40589641000000     		ar = 14424.9739672571m²